Конечномерные нормированные пространства

Имеет место теорема.

Теорема 2. Во всяком конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны.

Доказательство. Пусть задано - мерное линейное пространство с базисом . Разложим произвольный элемент этого пространства по базису

и введем норму

.

С этой нормой пространство можем отождествить с арифметическом пространством упорядоченных наборов из действительных чисел .

Пусть - еще одна произвольная норма в . С помощью неравенства Коши-Буняковского [3] имеем

. (2.11)

Следовательно, норма подчинена норме . Далее будем доказывать, что норма подчинена норме . С этой целью на поверхности единичного шара пространства рассмотрим функцию

.

Из неравенства

следует, что - непрерывная функция. По теореме Вейерштрасса на ограниченном и замкнутом множестве функция достигает своей нижней грани: найдется такое, что , где нижняя грань берется по всем . Причем , поскольку . Отсюда уже для любого и соответственно для любого имеем

.

Таким образом, подчинена норме . Теорема полностью доказана.

Используя эту теорему, докажем ряд важных предложений.

Предложение 15. Для любого все его координаты удовлетворяют неравенству

, (2.12)

где С – константа, зависящая только от выбора базиса в .

Доказательство. Из теоремы 2 непосредственно выводим

,

где , а

Предложение доказано.

Предложение 16. В конечномерном нормированном пространстве сходимость по норме совпадает со сходимостью по координатам.

Доказательство. Пусть задана последовательность и элемент . Все элементы разложим по базису:

, ,

.

Вначале предположим, что имеется сходимость по координатам, т.е.

.

Используя непрерывность суммы и произведения в нормированных пространствах, получим

, ,

.

И доказана сходимость по норме. Теперь предположим, что имеется сходимость по норме. Применяя неравенство (2.12) к элементам , получим

.

Как следствие этого неравенства: из сходимости по норме следует сходимость по всем координатам. Предложение доказано.

Определение 15. Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного числа найдется такой номер , что для всех верно неравенство .

Нетрудно показать, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Определение 16. Линейное нормированное пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

Предложение 17. Конечномерное нормированное пространство полно.

Доказательство. Возьмем фундаментальную последовательность , . Применяя неравенства (2.12) к разности элементов , получим

.

Тогда, благодаря полноте множества вещественных чисел существуют конечные пределы

, .

И по предложению 16 имеем

.

Предложение доказано.

Определение 17. Замкнутое линейное многообразие в нормированном пространстве называется подпространством.

Предложение 18. Всякое конечномерное линейное многообразие нормированного пространства является подпространством.

Доказательство. Пусть мерно. Возьмем последовательность и допустим, что . Тогда последовательность является фундаментальной в . По предыдущему предложению существует такой , что . Но поскольку во всем пространстве предел сходящейся последовательности – единственный, то , т.е. . Это и означает замкнутость линейного многообразия . Предложение доказано.