Примеры линейных нормированных пространств

Приведем примеры наиболее часто встречающихся нормированных пространств. При этом первые две аксиомы, как правило, проверяются без труда. Для проверки неравенства треугольника в ряде случаев используются известные неравенства.

1.В арифметическом пространстве упорядоченных наборов из действительных чисел определим норму по формуле

.

Мы снабдили норму индексом в связи с тем, что в этом же линейном пространстве далее будем определять норму другим способом.

Проверим аксиомы нормы.

1. - это очевидно. И если , т.е. , то все и . Здесь справедливо обратное: норма нулевого элемента равна нулю.

2. Из равенства вытекает однородность нормы.

3. Имеем , т.е.

. Переходя в этом неравенстве слева к по , получим неравенство треугольника. Это нормированное пространство обозначим как .

2.В пространстве введем норму

.

Проверим лишь третью аксиому:

.

Это нормированное пространство обозначается как .

3.В пространстве введем норму еще одну норму, полагая

.

Неравенство треугольника запишется в виде

. (2.6)

Неравенство (2.6) называется неравенством Минковского. Доказательство этого неравенства здесь не приводим, его можно найти в [3,4,5,12].

4. Рассмотрим множество , всех числовых последовательностей таких, что числовой ряд сходится. Норму здесь введем по формуле

.

Аксиома треугольника сводится к неравенству Минковского для бесконечных сумм

.

Очевидно, что если , то и для любого числа . Если же , то как следует из неравенства Минковского . Итак, - линейное нормированное пространство.

5. Рассмотрим пространство всех ограниченных числовых последовательностей . Последовательность ограничена, если найдется такое число , что верно неравенство для всех . Норма вводится по формуле

.

Проверим неравенство треугольника. Имеем

.

Отсюда, переходя в левой части к , получим

.

6. Рассмотрим линейное пространство всех непрерывных действительных функций , определенных на отрезке , и введем норму по формуле

.

Проверим аксиому треугольника. Имеем

. (2.7)

Так как неравенство (2.7) справедливо при всех , то получим

. Следовательно - линейное нормированное пространство.

7. В линейном пространстве раз непрерывно дифференцируемых на отрезке функций определим норму по формуле

.

Предлагаем самостоятельно проверить аксиомы нормы.

8. Рассмотрим множество всех измеримых по Лебегу на отрезке функций , для которых

,

где - некоторое положительное число. При этом две функции, равные почти всюду, т.е. всюду за исключением множества меры нуль, отождествляются. Иначе говоря, рассматриваются классы эквивалентных между собой функций.

Норму в этом множестве определим по формуле

.

Норма, как легко проверить, не зависит от выбора представителя из класса эквивалентных между собой функций. Неравенство треугольника проверяется с помощью неравенства Минковского для интегралов [3,4,5].