Определение 9. Пусть
- линейное пространство,
- принадлежащие ему линейные многообразия. Если каждый элемент
однозначно представим в виде
,
, (1.9)
то говорят, что пространство
есть прямая сумма линейных многообразий
, а выражение (1.9) называется разложением элемента
по элементам из
. При этом пишут
. (1.10)
Предложение 6. Если
, то
.
Доказательство. В самом деле, если бы
и
содержали другой общий элемент
, то для элемента
, имеющего представление
,
,
,
было бы также справедливо представление
,
,
,
отличное от первого. А это противоречит условию. Предложение доказано.
Справедливо обратное утверждение.
Предложение 7. Если любой элемент
может быть представлен в виде
,
,
, (1.11)
и
, то
.
Доказательство. Необходимо доказать однозначность представления (1.11).
Но если
,
,
,
то
,
,
.
В силу условия предложения отсюда следует, что
, т.е.
,
. Предложение доказано.
Приведем еще несколько определений, которые потребуются в дальнейшем.
Определение 10. Пусть
и
- множества пространства
. Через
обозначается множество всех элементов вида
, где
и
. Точно также, если
множество чисел, то через
обозначается множество всех элементов вида
, где
и
.
Заметим, что, вообще говоря,
, а только
.
Определение 11. Множество
называется выпуклым, если вместе с точками
и
оно содержит весь отрезок
, соединяющий эти точки, т.е. множество точек
при
.
1.8.
Лемма Цорна. Существование