Прямые суммы

Определение 9. Пусть - линейное пространство, - принадлежащие ему линейные многообразия. Если каждый элемент однозначно представим в виде

, , (1.9)

то говорят, что пространство есть прямая сумма линейных многообразий , а выражение (1.9) называется разложением элемента по элементам из . При этом пишут

. (1.10)

Предложение 6. Если , то .

Доказательство. В самом деле, если бы и содержали другой общий элемент , то для элемента , имеющего представление

, , ,

было бы также справедливо представление

, , ,

отличное от первого. А это противоречит условию. Предложение доказано.

Справедливо обратное утверждение.

Предложение 7. Если любой элемент может быть представлен в виде

, , , (1.11)

и , то .

Доказательство. Необходимо доказать однозначность представления (1.11).

Но если

, , ,

то

, , .

В силу условия предложения отсюда следует, что , т.е. , . Предложение доказано.

Приведем еще несколько определений, которые потребуются в дальнейшем.

Определение 10. Пусть и - множества пространства . Через обозначается множество всех элементов вида , где и . Точно также, если множество чисел, то через обозначается множество всех элементов вида , где и .

Заметим, что, вообще говоря, , а только .

Определение 11. Множество называется выпуклым, если вместе с точками и оно содержит весь отрезок , соединяющий эти точки, т.е. множество точек при .

1.8. Лемма Цорна. Существование