И простейшие следствия

Определение 1. Непустое множество называется линейным пространством, если оно удовлетворяет условиям:

Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент из , называемый их суммой и обозначаемый .

Для любого элемента и любого числа определено произведение .

Для любых элементов и любых чисел и выполнены следующие восемь аксиом:

1. (коммутативность).

2. (ассоциативность).

3. Существует такой элемент 0, что для любого (существование нулевого элемента).

4. Для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).

5. .

6. .

7. .

8. .

Если ограничиваться вещественными числами, то называется вещественным линейным пространством; если же определено умножение на любое комплексное число, то линейное пространство называется комплексным.

Приведем некоторые следствия из этих аксиом.

Предложение 1. В любом линейном пространстве существует единственный нуль.

Доказательство. Предположим, что в пространстве имеются два нуля , .

Полагая в аксиоме 3. и , получим

. (1.1)

Затем, полагая в той же аксиоме и , будем иметь

. (1.2)

В силу коммутативности левые части (1.1) и (1.2) равны, а тогда и правые части равны, т.е. . Предложение доказано.

Предложение 2. В любом линейном пространстве для каждого элемента существует единственный противоположный элемент.

Доказательство. Пусть для некоторого элемента имеются два противоположных элемента и . Тогда с учетом аксиомы ассоциативности получим , (1.3)

. (1.4)

Поскольку равны левые части (1.3) и (1.4), то будут равны и правые части. Предложение доказано.

Предложение 3. В любом линейном пространстве для каждого элемента

имеет место равенство

.

Доказательство. Рассмотрим элемент и применим аксиомы 5. и 7. В результате получим

,

.

Сравнивая эти два соотношения, будем иметь

.

Прибавляя к обеим частям последнего равенства противоположный элемент, получим

,

т.е. . Предложение доказано.

Предложение 4. Для каждого элемента противоположным является элемент

.

Доказательство. Составим сумму и используем предложение 3. В результате получим

,

что и требовалось доказать.