Линейное многообразие. Линейные оболочки

Определение 7. Непустое подмножество линейного пространства называется линейным многообразием, если из , следует, что .

Покажем, что линейное многообразие само является линейным пространством. Аксиомы 1,2, а также 5-8 выполняются, поскольку они выполняются для всех элементов пространства . Остается проверить аксиомы 3,4.

Возьмем ; поскольку , то нулевой элемент принадлежит .

Теперь возьмем ; поскольку есть элемент, противоположный элементу , то подмножество вместе с каждым элементом содержит и противоположный элемент. Следовательно, выполнены все аксиомы линейного пространства. Приведем примеры линейных многообразий.

Пример 1. Нулевой элемент пространства образует наименьшее, возможное линейное многообразие пространства .

Пример 2. Все пространство - наибольшее, возможное линейное многообразие пространства .

Пример 3. Пусть - линейное пространство и - его ненулевой элемент. Элементы вида , где пробегает все числа, образует линейное многообразие.

Пример 4. Множество всех многочленов образует линейное многообразие в линейном пространстве непрерывных функций.

Пример 5. Пространство является линейным многообразием в линейном пространстве ограниченных последовательностей.

Определение 8. Пусть дано некоторое подмножество линейного пространства . Линейной оболочкой называется совокупность всевозможных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конечного числа элементов, принадлежащих . Линейную оболочку множества будем обозначать через .

Покажем, что линейная оболочка является линейным многообразием. В самом деле, если и принадлежат , то

, , .

Тогда

, ,

т.е. сумма двух элементов и произведение элемента на число являются линейными комбинациями элементов из множества . Следовательно, -линейное многообразие.

С другой стороны, всякое линейное многообразие, содержащее элементы множества , содержит и все линейные комбинации элементов из .

Следовательно, линейная оболочка множества есть наименьшее линейное многообразие, содержащее .