В нормированных пространствах

Определение 1. Говорят, что в линейном пространстве задана норма, если каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное число, обозначаемое как , причем должны выполняться три аксиомы:

1. (невырожденность нормы);

2. , каково бы ни было число (однородность нормы);

3. (неравенство треугольника).

Предложение 1. Имеет место неравенство

. (2.1)

Доказательство. По неравенству треугольника имеем

,

откуда следует неравенство

.

Меняя местами в этом неравенстве и , получим

.

Оба последних неравенства в совокупности дают неравенство (2.1). Предложение доказано.

Определение 2. В нормированном пространстве определим расстояние, полагая для любых

, (2.2)

т.е. расстояние между двумя элементами равно норме разности.

Предложение 2. Расстояние, определенное формулой (2.2), удовлетворяет аксиомам метрического пространства.

Доказательство. Если , то и по аксиоме 1. для нормы ; если же , то .

Далее

.

Наконец, докажем неравенство треугольника. Используя аксиому 3. для нормы, получим

.

Предложение доказано.

Таким образом, нормированные пространства являются частным случаем метрических пространств.

В следующем предложении выражены дополнительные свойства, которыми обладает введенная метрика.

Предложение 3. Метрика, определяемая формулой (2.2), удовлетворяет условиям:

1. (инвариантность относительно сдвига); (2.3)

2. (положительная однородность). (2.4)

Доказательство. Имеем

,

.

Предложение доказано. Далее справедливо обратное утверждение.

Предложение 4. Любая метрика в линейном пространстве, обладающая свойствами (2.3) и (2.4) определяет в некоторую норму, а именно .

Доказательство. Первая аксиома нормы, очевидно, выполнена. Учитывая положительную однородность метрики, получим

.

А для доказательства третьей аксиомы воспользуемся неравенством треугольника для метрики и инвариантностью метрики относительно сдвига. Имеем

.

Предложение доказано.

Определение 3. Говорят, что последовательность сходится к по норме и пишут , если

, при . (2.5)

Сходимость по норме, очевидно, совпадает со сходимостью по расстоянию, а именно

.

Имеет место предложение.

Предложение 5. Если , то , иначе говоря, норма является непрерывной функцией.

Доказательство. Из неравенства (2.1) следует

.

Отсюда непосредственно следует доказательство предложения.

Еще отметим, что числовая последовательность ограничена, как сходящаяся.

Предложение 6. Операции сложения и умножения на число непрерывны в нормированном пространстве:

1) если , , то ;

2) если , , то , где - числа.

Доказательство. Имеем

.

И первая часть предложения доказана. Для доказательства второго утверждения

также используем то, что сходящая числовая последовательность ограничена. С учетом этого имеем

.

Предложение доказано.