Эквивалентные нормы

Определение 13. Пусть в линейном нормированном пространстве с нормой задана еще одна норма . Говорят, что норма подчинена норме , если найдется такая постоянная , что

, . (2.8)

Имеет место теорема.

Теорема 1. Для сходимости по норме любой последовательности, сходящейся по норме , необходимо и достаточно, чтобы норма была подчинена норме .

Доказательство. Достаточность доказывается легко. Действительно, пусть последовательность сходится к элементу по первой норме, т.е. , при . Тогда из (2.8) имеем

,

откуда следует сходимость последовательности к элементу и по второй норме.

Необходимость докажем от противного. Пусть неравенство (2.8) не выполнено. Тогда для любого натурального числа найдется такой элемент , что

.

Обе части этого неравенства поделим на одно и то же число , отличное от нуля, которое затем внесем под знак каждой нормы. В результате получим неравенство

или

, (2.9)

где

,

причем . С другой стороны из неравенства (2.9) немедленно следует, что

, при .

Таким образом, построили последовательность , которая сходится к нулю по первой норме и не сходится по второй. Это противоречие и доказывает теорему.

Определение 14. Пусть в линейном нормированном пространстве заданы две нормы: и . Нормы и называются эквивалентными, если найдутся такие постоянные и , что

, . (2.10)

Имеет место предложение.

Предложение 14. Две нормы и эквивалентны тогда и только тогда, когда сходимость по одной норме влечет сходимость по другой норме.

Доказательство этого предложения сразу следует из теоремы 1.

В заключение этого параграфа заметим, что отношение эквивалентности норм обладает следующими свойствами:

1. (рефлексивность);

2. Если , то (симметричность);

3. Если и ,то (транзитивность).

Здесь значок означает эквивалентность норм.