В пособии [12] подробно изложены компактные пространства и множества в метрических пространствах. Здесь рассмотрим один аспект, характерный именно для линейных нормированных пространств. В начале приведем нужные определения.
Определение 1. Линейное нормированное пространство
называется компактным, если у любой последовательности точек этого пространства существует сходящаяся подпоследовательность.
Определение 2. Линейное нормированное пространство
называется относительно компактным, если у любой последовательности точек этого пространства существует фундаментальная подпоследовательность.
Определение 3. Множество
в линейном нормированном пространство
называется относительно компактным, если у любой последовательности точек этого множества существует фундаментальная подпоследовательность.
Определение 3. Неограниченное множество
элементов нормированного пространства
называется локально относительно компактным, если пересечение
с любым замкнутым шаром в
относительно компактно.
Теорема 1. (Ф.Рисс). Для того чтобы линейное многообразие
нормированного пространства
было локально относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы
было конечномерным.
Доказательство необходимости. Пусть
локально компактно. Рассмотрим точку
и произвольный замкнутый шар
с центром в этой точке
. Пересечение
относительно компактно в
.
Предположим, что утверждение теоремыневерно, т.е.
бесконечномерно.
Возьмем любой элемент
с
и положим
. Обозначим через
линейную оболочку элемента
, т.е. множество элементов вида
.
По лемме Рисса существует
с
такой, что
и, в частности,
. Положим
. Тогда
и, кроме того,
.
Продолжим эти построения. Если
и, соответственно
,
, уже построены, то через
обозначим линейную оболочку элементов
.
Линейное многообразие
замкнуто, поскольку конечномерно, т.е. является подпространством. Так как
бесконечномерно, то
. Снова пользуясь леммой Рисса, найдем элемент
с
такой, что
. В частности,
при любом
. Положим
. Тогда
и выполнено неравенство
,
. (2.15)
Продолжая этот процесс, получим последовательность
, которая не содержит фундаментальной последовательности. А это противоречит относительной компактности
. Необходимость доказана.
Доказательство достаточности. Пусть
конечномерно. Возьмем в
произвольный замкнутый шар
. Рассмотрим в ограниченном множестве
произвольную последовательность
. Разложим элементы этой последовательности по базису
,
. На основании предложения 15 из 2-ой главы заключаем, что при каждом
числовая последовательность
ограничена. Поэтому по известной теореме Больцано - Вейерштрасса существует последовательность натуральных чисел
такая, что
,
.
Тогда в силу предложения16 из 2-ой главы
.
Это и означает, что
относительно компактно. Теорема полностью доказана.
Следствие 1. Для того, чтобы нормированное пространство было локально компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было конечномерным.
Доказательство получается из теоремы, если взять
.
Следствие 2. В бесконечномерном нормированном пространстве любое относительно компактное множество нигде не плотно.
Доказательство. Пусть
- относительно компактное множество в бесконечномерном пространстве
. Допустим, что утверждение следствия неверно. Тогда найдется шар
, который содержится в замыкании множества
:
. Но тогда
. Поскольку
- относительно компактно, то относительно компактными будут также множества
и
. Из относительной компактности
по следствию 1 получаем, что
- конечномерно. Полученное противоречие и доказывает следствие.