Пополнение нормированного пространства

Определение 1. Последовательность элементов нормированного пространства называется фундаментальной, если для любого положительного числа найдется такой номер , что для всех верно неравенство .

Предложение 1. Если последовательность сходится к пределу , то она является фундаментальной или последовательностью Коши.

Доказательство. Пусть . Тогда для любого найдется номер такой, что при . Следовательно,

для всех . Предложение доказано.

Нетрудно показать, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Определение 2. Линейное нормированное пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

Полные нормированные пространства называют банаховыми пространствами.

Теорема 1. Для любого линейного нормированного пространства существует банахово пространство такое, что

1. ;

2. , ;

3. всюду плотно в , т.е. .

Доказательство разобьем на несколько этапов.

I. Две фундаментальные последовательности и элементов назовем

эквивалентными (и запишем ), если

.

Введенное отношение, как легко заметить, рефлексивно и симметрично. Докажем, что оно также транзитивно. Пусть и , т.е. и . Тогда в силу неравенства треугольника

,

откуда , т.е. .

Следовательно, множество всех фундаментальных последовательностей из элементов распадается на классы эквивалентных последовательностей. Множество этих классов обозначим через и докажем, что оно является искомым банаховым пространством.

II. Определим в множестве операции сложения и умножения на число. Пусть и пусть и - некоторые последовательности из этих классов. Поскольку , - фундаментальные последовательности, то и последовательность также является фундаментальной. Поэтому она входит в некоторый класс, который обозначим через . Покажем независимость от выбора представителей классов

и . Пусть , . Тогда по определению классов и . Это означает, что

, , когда .

Используя неравенство треугольника, получим

, когда ,

поэтому , т.е. , что и доказывает корректность операции сложения.

Далее определим умножение на число. Вместе с последовательностью фундаментальной будет, очевидно, и последовательность . Поэтому принадлежит некоторому классу, который мы обозначим через . Проверим корректность определения. Если , то , т.е. , поэтому и , т.е. . Следовательно .

Таким образом - линейное пространство. В заключение этого пункта определим, какой элемент играет роль нулевого элемента в . Этот элемент определяется условием , . Возьмем , тогда получим, что класс содержит стационарную последовательность .

III. Введем в норму. Для заданного класса выберем представителя . Из неравенства

и фундаментальности последовательности следует фундаментальность числовой последовательности . Положим по определению

. (3.1)

И если имеется другой представитель , то

, когда ,

и поэтому норма не зависит от выбора последовательности.

Далее проверим аксиомы нормы, определенной по формуле (3.1). Очевидно, и, если ,то

,

т.е. . Таким образом класс содержит стационарную последовательность , т.е. . Теперь переходя к пределу в соотношениях

,

,

получим вторую и третью аксиомы нормы

,

.

IV. Покажем, что пространство можно рассмотреть как часть . Для этого каждому элементу поставим в соответствие тот класс , который состоит из последовательностей, сходящихся к элементу . Он не пуст, поскольку содержит стационарную последовательность . И, согласно формуле (3.1),

.

Множество всех классов, содержащих стационарные последовательности, является линейным многообразием в . Для этого линейного многообразия сохраним обозначение .

V. Докажем, что всюду плотно в . Возьмем любой класс и произвольное число . Необходимо показать, что в шаре с центром в и радиуса найдется хоть одна точка из . Возьмем некоторую последовательность . Поскольку она фундаментальна, то найдется такое , что при верно неравенство

.

Введем в рассмотрение стационарную последовательность . Тогда при имеем

, (3.2)

т.е. при всех .

Неравенство (3.2) еще означает, что , как элемент пространства сходится к : , при .

VI. Наконец, докажем полноту . Пусть дана последовательность . Поскольку плотно в , то для каждого можно найти такой, что

, .

В результате получим последовательность . Покажем, что она фундаментальна. В самом деле,

,

и фундаментальность следует из фундаментальности . Обозначим через класс, содержащий последовательность . Как отмечено в конце предыдущего пункта

, при .

Отсюда и из неравенства треугольника следует

, когда .

Таким образом, последовательность сходится к элементу . Теорема полностью доказана.