Алгебраического базиса

Определение 12. Множество называется упорядоченным, если для некоторых пар элементов и определено отношение порядка ( меньше или равно ), причем для любых из выполнены условия:

1) для любого (рефлексивность);

2) если и , то (транзитивность);

3) если и то (антисимметричность).

Определение 13. Упорядоченное множество называется совершенно упорядоченным, если для любых элементов и из либо , либо , т.е. все элементы сравнимы между собой.

Определение 14. Подмножество называется ограниченным сверху, если существует такой , что для любого . При этом называется верхней границей для .

Определение 15. Если , то элемент называется наибольшим в , если для любого .

Определение 16. Если , то элемент называется максимальным в , если из для , следует что .

Отметим, что любой наибольший элемент будет и максимальным, но, вообще говоря, не наоборот.

Лемма Цорна. Если каждое совершенно упорядоченное подмножество упорядоченного множества ограничено сверху, то в существует максимальный элемент.

Далее рассмотрим одно из применений Леммы Цорна в линейных пространствах.

С этой целью введем ряд определений.

Определение 17. Множество в линейном пространстве называется линейно независимым, если любой конечный набор элементов из линейно независим.

Определение 18. Множество называется алгебраическим базисом пространства , если линейно независимо и для любого существует конечный набор элементов из , такой, что .

Теорема 3. В любом линейном пространстве существует алгебраический базис.

Доказательство. Обозначим через множество всевозможных линейно независимых подмножеств из . На зададим отношение порядка по включению, а именно: если и два линейно независимых множества, то будем писать , если и при . Таким образом, множество становится частично упорядоченным. Пусть - совершенно упорядоченное подмножество , где пробегает некоторое множество . Покажем, что оно ограничено сверху.

Положим . Если , то при некотором . Далее докажем, что в силу совершенной упорядоченности множества все элементы , такие, что совпадают между собой. В самом деле, если и , то либо , либо . В первом случае и для всех . Аналогичное соотношение имеет место во втором случае.

Теперь определим элемент с помощью равенства , где - любой из индексов, для которых . Тогда множество линейно независимо, в силу совершенной упорядоченности , и является верхней гранью для .

Значит, выполнены условия леммы Цорна и в существует максимальное линейно независимое множество . Нам остается доказать, что множество и есть алгебраический базис. Оно линейно независимо. И если линейная оболочка не совпадает со всем пространством , то найдется ненулевой элемент . Присоединяя элемент к множеству , мы получим такое линейно независимое множество , что . А это противоречит максимальности . Теорема полностью доказана.