ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

 

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука,1972.496с.

2. Канторович Л. В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука,1977. 742с.

3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука,1965. 520с.

4. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Мн.: БГУ,2003.430с.

5.Треногин В.А. Функциональный анализ. М.:Наука,1980.496с.

6. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.:Мир,1965.572с.

7. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.:Физматлит,2002.240с.

8. Городецкий В.В., Нагнибеда Н.И., Настиев П.П. Методы решения задач по функциональному анализу. Киев:Вища шк.1990.479с.

9. Петров В.А., Виленкин Н.Я., Граев М.И. Элементы функционального анализа в задачах. М.Просвещение,1978.128с.

 

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Часть 2.

Нормированные пространства. Теория и задачи с решениями.

 

 

 

 

Учебно-методическое пособие

 

 

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2008

 

УДК 517.5 Печатается по решению

РИС НовГУ

 

Рецензент

Кандидат физико-математических наук, доцент О.Н. Барсов

 

 

Функциональный анализ. Часть 2. Нормированные пространства. Теория и задачи с решениями.: учеб. - метод. пособие / Сост.: С.И. Эминов; НовГУ им. Ярослава Мудрого. - Великий Новгород, 2007. – 64 с.

 

Излагаются основы нормированных пространств, а также приводятся задачи с решениями.

Предназначено для студентов и аспирантов математических, физических и инженерных специальностей, а также для научных работников.

 

УДК 517.5

 

 

© Новгородский государственный

университет, 2008

© С.И. Эминов,

составление, 2008

 

 

Посвящается моим одноклассникам,

окончившим Тбилисскую физико-математическую

школу-интернат имени Комарова в 1976 г., учащимся класса,

ныне живущим в Австралии, Армении, Греции, Грузии, Израиле,

Канаде, Панаме, России, США, Украине и Швейцарии.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………...........................5

1.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА…………………...…………………..............................6

1.1. Аксиомы линейного пространства и простейшие следствия……...………………….6

1.2. Примеры линейных пространств………………………………………………………..8

1.3. Размерность. Базис конечномерного пространства…………………………………....9

1.4. Линейное многообразие. Линейные оболочки………………….…………………….11

1.5. Изоморфизм линейных пространств……………………………………………….….13

1.6. Фактор - пространства……………………………………………………………….....13

1.7. Прямые суммы………………………………………………………………………….14

.Лемма Цорна. Существование алгебраического базиса…………………………….15

2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА……………………………………………....17

2.1.Определение нормированного пространства,

связь с метрическими пространствами. Непрерывность операций

сложения и умножения на число в нормированных пространствах…………………17

2.2. Примеры линейных нормированных пространств…………………………………...20

2.3. Открытые и замкнутые множества.

Точки прикосновения и предельные точки…………………………………………...23

2.4. Эквивалентные нормы……………………………………………….………………....25

2.5. Конечномерные нормированные пространства………………………………………27

2.6. Расстояние от точки до подпространства.

Приближение элементами подпространства………………………………………….30

2.7. Лемма Рисса. Об одном применении леммы Рисса…………………………………. 32

2.8. Компактность и конечномерность…………………………………………………….34

3. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА………………………………………………………..36

3.1. Пополнение нормированного пространства………………….. ……………………..36

3.2. Ряды в нормированных и банаховых пространствах…..…………………………….40

3.3. Принцип вложенных шаров. Множества первой и второй категории……………...42

3.4. Фактор - пространства нормированных пространств………...……………………...43

3.5. Банахово пространство с базисом……………………………………...……………...44

4. ЗАДАЧИ……….…………………………………………………………………………..46

5. РЕШЕНИЯ……………………………………….………………………………………..50

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………….63

 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Линейные нормированные пространства представляют чрезвычайно важный раздел функционального анализа. В учебниках по функциональному анализу нормированные пространства излагаются, как правило, крайне лаконично и трудно доступно для самостоятельного изучения. Кроме того, многие учебники в настоящее время становятся библиографической редкостью.

В этой связи представляется актуальным разработка методического пособия, что позволило бы частично восполнить имеющийся пробел.

Пособие состоит из трех глав. В первой главе приводятся основные сведения о линейных пространствах. В конце этой главы формулируется лемма Цорна и приводится одно из применений указанной леммы.

Вторая глава посвящена нормированным пространствам. Здесь подробно доказываются основные теоремы нормированных пространств. Наряду с бесконечномерными пространствами обстоятельно изучаются конечномерные нормированные пространства.

В третьей главе изучается важный класс нормированных пространств – банаховы пространства. В этой главе доказывается теорема о пополнении произвольного линейного нормированного пространства, затем излагаются основные свойства банаховых пространств.

Наряду с теорией в пособии приведены задачи с решениями. По замыслу, теория и задачи с решениями должны представить в определенной полноте методы и приемы, характерные для нормированных пространств. Мы рекомендуем студентам вначале самостоятельно решить задачу, используя методы и приемы, развиваемые при доказательствах теорем. И лишь затем сравнить свое решение с решением, которое приводится в пособии.

Пособие предназначено как студентам, так и аспирантам и научным работникам, желающим основательно проработать нормированные пространства.

Во время работы над пособием, я обсуждал некоторые вопросы с профессорами Захаровым Анатолием Юрьевичем и Пановым Евгением Юрьевичем. Я выражаю им свою искреннюю благодарность.

 

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА