Экранирование зарядов в плазме. Дебаевский радиус

Важной характеристикой плазмы является величина, называемая длиной экранирования, или дебаевским радиусом. Каждая заряженная частица вызывает поляризацию плазмы, т.е. накопление вокруг нее частиц противоположного знака, что и приводит к экранированию поля частицы. Экранированный потенциал может быть вычислен с помощью теории Дебая, развитой в начале 20-го столетия для растворов электролитов.

Для упрощения задачи будем использовать следующие предположения:

а) плазма является изотермической, а частицы в ней распределены по закону Больцмана;

б) положительные ионы являются однозарядными;

в) плазма является безграничной;

г) можно пренебречь микрофлуктуациями потенциала, связанными с дискретностью зарядов.

Будем рассуждать следующим образом. Положительно заряженный ион создает вокруг себя электрическое поле с потенциалом . Согласно распределению Больцмана, концентрация электронов описывается выражением

, (13)

где – заряд электрона, – радиус-вектор точки поля относительно иона. Для концентрации ионов можно записать выражение, аналогичное (13):

, (14)

где q_i = е – заряд иона. При , когда влиянием потенциала можно пренебречь, условие квазинейтральности плазмы приводит к соотношению n _{0 е} = n _{0 i} = n ₀.

Из (13) и (14) вытекает, что объемная плотность зарядов в плазме равна

(15)

где – гиперболический синус, а слагаемое с δ-функцией отвечает объемной плотности заряда иона в предположении, что этот заряд точечный. Потенциал и объемная плотность зарядов связаны уравнением Пуассона

(16)

или

(17)

Уравнение (17) – нелинейное, и построить его решение удается только после линеаризации, т.е. в приближении

. (18)

Тогда, принимая во внимание известное соотношение при малых х, получим

(19)

где величина

(20)

называется радиусом экранирования или дебаевским радиусом.

Для решения уравнения (19) воспользуемся известным из теории обобщенных функций соотношением

(21)

и его следствием

. (21*)

Тогда решение уравнения (19) можно представить в виде

(22)

при условии, что А + В =1. Коэффициент В должен равняться 0, иначе потенциал будет неограниченно возрастать при . Окончательно

. (23)

Построенный потенциал представляет собой потенциал самосогласованного поля: к кулоновскому полю иона добавляется поле поляризованной им среды, пространственное распределение зарядов в которой определяется самим потенциалом . В соответствии с вышесказанным потенциал, обусловленный окружающей ион средой, равен

(24)

Это означает, что в месте расположения иона создается потенциал

, (25)

который определяет потенциальную энергию этого поля в плазме:

, (26)

такое же значение энергии получается и для электрона. Если потенциальная энергия электронов ионов плазмы много меньше (по модулю) их кинетической энергии, т.е.

, (27)

плазма называется идеальной. С учетом соотношения (18) неравенство (27) можно переписать как

. (28)

Другими словами, в идеальной плазме число частиц N_d внутри сферы радиуса d

оказывается много большим единицы. Например, в случае плазмы с температурой Т = 10⁷ К и плотностью n ₀ = 10¹⁴ см^-3 (такие параметры характерны для термоядерной плазмы) дебаевский радиус равен см и N_d = .

Проведенные выкладки распространяются и на случай неизотермической плазмы, характеризующейся электронной температурой Т_е и ионной T_i. Действуя точно так же, как и ранее при выводе формул (13) – (23) (изменения касаются только распределений Больцмана (14), в которых теперь стоят свои температуры Т_е и T_i), получим тот же окончательный результат (23), но с другой длиной экранирования d:

. (29)

Дебаевский радиус можно рассматривать как масштаб разделения зарядов в плазме. Если пространственные размеры ионизованной среды меньше дебаевского радиуса, то такую среду следует рассматривать скорее не как плазму, а как совокупность свободных зарядов. Если же указанные пространственные размеры велики по сравнению с дебаевским радиусом, ионизованная среда ведет себя как истинная плазма. В этом случае полное число частиц в плазме N удовлетворяет условию , что необходимо для применимости теории Дебая, которая основана на методах статистической физики. Как было установлено ранее, при условии кулоновская энергия плазмы мала по сравнению с тепловой, т.е. изотермическая плазма по своему термодинамическому поведению близка к идеальному газу.

Выражение для экранированного потенциала (23) справедливо лишь при выполнении условия (18). С помощью подстановки это условие приводится к виду

. (30)

Следовательно, формула (23) не применима при , а потому выражение для кулоновской энергии (26) не является точным, и должно рассматриваться как оценка. Неприменимость выражения (23) при малых r можно увидеть и из следующего факта: интеграл по малой области D, окружающей ион, , который определяет число электронов в указанной области, является расходящимся в силу того, что при r << d.

Обобщая вышесказанное, приходим в выводу, что несмотря на приближенный характер теории Дебая, она позволяет оценить, при каких параметрах плазму можно описывать законами идеального газа.

В заключение этого параграфа приведем несколько полезных формул. Величина kT, называемая термодинамической температурой, в физике плазмы измеряется в практически удобных единицах – электронвольтах (эВ) и обозначается той же буквой Т. При этом . Суммарная концентрация заряженных частиц в плазме, обозначаемая в дальнейшем n (в рассматриваемом случае n = 2 n ₀), измеряется в см^-3, а дебаевский радиус – в см, тогда

. (31)

Давление плазмы при условии применимости законов идеального газа, т.е. формулы (27), записывается в виде

(мм рт. ст.). (32)

Условие применимости формулы (30) выглядит следующим образом:

. (33)