Термоядерная плазма. Критерий Лоусона

 

Термоядерной называют горячую плазму, в которой возможно протекание реакций синтеза легких ядер, иначе называемых реакциями термоядерного синтеза. Приведем несколько основных реакций слияния легких ядер и значения их энергетического выхода:

, (43а)

, (43б)

, (43в)

. (43г)

Напомним, что для ядра атома дейтерия используется еще одно обозначение – d, а для ядра атома трития – t, так что реакцию синтеза (43в) можно записать в виде

. (43*)

Для осуществления слияния ядер необходимо, чтобы сталкивающиеся ядра преодолели их взаимное дальнодействующее кулоновское отталкивание, т.е. кулоновский барьер, или «протуннелировали» через него. Вероятность туннелирования будет тем больше, чем ниже и уже кулоновский барьер и чем выше кинетические энергии ядер-партнеров, вступающих в реакцию. По этой причине наиболее перспективными являются реакции (43 а) – (43 в), для которых заметные значения сечений достигаются при энергиях в несколько килоэлектронвольт, причем в этой области энергий сечение реакции (43 в) примерно на два порядка превышает сечение реакций (43 а), (43 б).

В ускорителе легко можно достичь любых энергий, необходимых для осуществления реакции синтеза. Однако этот путь не приводит к самоподдерживающейся реакции. Для создания условий, в которых управляемый синтез будет возможен, дейтерий или дейтериево-тритиевую смесь необходимо разогреть до температуры порядка сотен миллионов градусов (Т ~10⁸К). Ясно, что при такой температуре любое вещество превращается в полностью ионизованную плазму.

Проведем оценку параметров этой плазмы, необходимых для поддержания в ней самоподдерживающейся (стационарной) термоядерной реакции. Будем рассматривать дейтериево-тритиевую плазму, температура которой Т, а концентрации компонентов одинаковы и равны (, как и ранее, – концентрация электронов плазмы). Воспользуемся формулой (42), в которой индекс b относится к дейтрону, а – к тритону, с – к -частице, а функции f_a и f_b есть распределения Максвелла для соответствующих частиц:

, (44)

и аналогично для . Поскольку на одну - частицу в реакции выделяется Q = 17.59 MэВ, то в единице объема плазмы в единицу времени выделяется мощность

. (45)

Часть этой мощности идет на нагревание самой плазмы

, (46)

где – энергия - частицы, образующейся в реакции

, поскольку нейтроны почти не участвуют в процессе нагревания. Для вычисления величины Р _H перейдем в шестимерном интеграле (42), задающем величину , к новым переменным:

; . (47)

В выражении (47) , следовательно, – скорость центра масс системы ядер дейтерия и трития. Якобиан перехода равен единице, так что

. (48)

Из курса общей физики известно, что

, (49)

где – приведенная масса системы. Поскольку , то из формулы (49) вытекает следующее важное соотношение:

, (50)

где и есть распределения Максвелла для частиц с массами и М соответственно (при той же температуре Т). Подставляя это соотношение в формулу (42) и используя (48), можно проинтегрировать по скорости движения центра масс (что, очевидно, дает единицу), тогда

, (51)

где величина есть усредненная по скорости столкновения скорость реакции синтеза

. (52)

Поскольку в эксперименте сечение реакции синтеза измеряется как функция энергии, перейдем в (52) к интегрированию по энергии частицы в (это отвечает постановке эксперимента, в котором пучок дейтронов падает на тритиевую мишень). В итоге получаем

. (53)

Для функции существуют различные аналитические параметризации, например, [4]

, (54)

где энергия дейтронов измеряется в эВ, а сечение – в см².

Формулы (46) – (54) позволяют рассчитать тепловую мощность, выделяемую в плазме, в расчете на единицу объема:

. (55)

Обозначим через время удержания плазмы при температуре Т в рабочем объеме. Будем предполагать, что по истечении этого времени горячая плазма заполняется новой порцией относительно холодной плазмы. Условие стационарности заключается в том, что выделяющейся за время удержания тепловой энергии за вычетом энергии потерь должно быть достаточно для разогрева вновь поступающей плазмы. Поскольку для нагревания до температуры Т единицы объема плазмы требуется энергия (по на электронную и ионную компоненты плазмы), условие стационарности приобретает вид

, (56)

где – потеря энергии в расчете на единицу объема. Как оказывается, в основном, потери связаны с тормозным излучением электронов, т.е. излучением электронов при столкновении с ионами. В электродинамике плазмы показывается, что мощность тормозного излучения в расчете на единицу объема плазмы в интересующей нас ситуации, когда заряды ионов равны единице (в единицах элементарного заряда), можно рассчитать по формуле

, (57)

где температура измеряется в кельвинах, а концентрация – в см^-3. Следовательно, условие (56) можно переписать так:

, (58)

В соответствии с формулой (57) численное значение постоянной с в (58) равно .

Произведение носит название параметра удержания плазмы. Анализ функции, фигурирующей в правой части неравенства (58), показывает, что она имеет минимум при , соответствующий в энергетических единицах величине 17 кэВ. Таким образом, для осуществления управляемого термоядерного d-t -синтеза необходимо выполнение условия

и , (59)

которое носит название критерия Лоусона. Приведем также значение критерия Лоусона для реакции d-d -синтеза (43 а), (43 б) (в этом случае в формуле (42) нужно добавить коэффициент 1/2, иначе каждое столкновение будет учитываться дважды) и синтеза :

и . (60)

Полученные результаты показывают, что на предыдущем этапе предположение о доминирующем вкладе тормозного излучения в полное излучение плазмы было законным, поскольку вклады других видов излучения (рекомбинационного, электрон-электронного тормозного и т.д.)) действительно малы. В частности, электрон-электронное тормозное излучение заметно при температуре электронов, превышающей 50 кэВ (по энергетической шкале), а рекомбинационное (фоторекомбинационное) излучение, мощность которого в расчете на единицу объема водородной плазмы можно оценить по формуле

, (61)

оказывается в интересующей термоядерной области температур на два-три порядка меньше тормозного.

Приведенные оценки показывают, что реакцию управляемого термоядерного синтеза более просто осуществить в дейтериево-тритиевой плазме. Однако здесь присутствует существенная трудность, связанная с тем, что тритий радиоактивен (его период полураспада равен 12,5 лет) и потому отсутствует в природе. Тритий предполагается нарабатывать в одной из следующих реакций:

или . (62)

Особенно важной является вторая из приведенных реакций, которая интенсивно идет под действием нейтронов с энергией в несколько мегаэлектронвольт и в которой получение трития сопровождается дополнительным нейтроном. В целом наработка трития – сложная с физико-технической и небезопасная с радиационной точек зрения проблема.

Итак, для осуществления управляемого термоядерного синтеза плазму не только необходимо нагреть до температуры 10⁸К и выше, но и обеспечить, чтобы произведение было больше некоторого минимального значения. Следовательно, управляемый синтез может быть осуществлен либо удержанием на короткое время горячей плазмы с очень высокой плотностью (), либо удержанием плазмы меньшей плотности в течение более продолжительного промежутка времени. В первом случае предполагается использовать импульсный метод, что лежит в основе лазерного синтеза и систем с релятивистскими пучками электронов или ионов. Во втором случае предполагается использование различных конфигураций магнитных полей, основными из которых являются

а) открытые системы или системы с магнитными зеркалами;

б) закрытые системы (торы);

в) устройства с -пинчем.

Прежде чем обсудить вышеперечисленные экспериментальные схемы удержания термоядерной плазмы, сформулируем условие на время свободного разлета плазмы, при котором не возникает необходимости в удержании плазмы. Обозначим через R характерные размеры области, занимаемой свободной горячей плазмой, время разлета по порядку величины равняется , где v – скорость ионов плазмы, которая при температуре 10⁸К равняется примерно 10⁸ см/с. Комбинируя теперь обсуждаемое условие с критерием Лоусона, получим, что при

, (63)

время свободного разлета плазмы будет превышать время удержания. В этом случае проблема управляемого термоядерного синтеза переносится на проблему почти мгновенного (т.е. за время, существенно меньшее ) нагревания плазмы. Именно по этому пути, называемому инерциальным удержанием, идут в устройствах лазерного синтеза и системах релятивистских пучков.