Тема 3 Полная вероятность. Формула Байеса

 

Если событие А может наступить при появлении одного из несовместных событий образующих полную группу, причем вероятности этих событий известны и известны условные вероятности то по формуле полной вероятности можно найти вероятность события А:

Пусть произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Неизвестно, какое из несовместных событий полной группы предшествовало ему, назовем их гипотезами. Тогда их вероятности вычисляются по формуле Бейеса

Пример 1. Три линии упаковывают молоко. Их производительности относятся как 1: 2: 3. Брак на первой линии составляет 0,5% от объёма продукции; на второй – 0,3%; на третьей – 0,25%. Продукция поступает на общий склад. Какова вероятность того, что наудачу взятый пакет оказался с браком?

Взятый пакет оказался с браком. Что вероятнее, он упакован на первой, второй или на третьей линии?

Введем события:

А – {наудачу взятый пакет оказался с браком},

В ₁–{пакет упакован на первой линии},

В ₂–{пакет упакован на второй линии},

В ₃–{пакет упакован на третьей линии},

Тогда

, , .

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности для трех событий :

.

Вероятности того, что бракованный пакет упакован на 1-ой, 2-ой или 3-ей линиях найдем по формуле Байеса

;

И так, вероятность того, что наудачу взятый пакет с браком

Сравнивая вероятности и , делаем вывод: вероятнее, что бракованный пакет упакован на 3-ей линии.