Тема 2 Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой двух событий А и В называют событие А+В, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении событий А и В водном испытании. Вероятность суммы вычисляется согласно теоремам 1 и 2. Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Теорема имеет следствия: Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий Следствие 2. Сумма вероятностей попарно несовместных событий образующих полную группу, равна единице . Если полную группу событий образуют два единственно возможных события, то они называются противоположными и обозначаются А и , а их вероятности обозначаются и Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: или , тогда . Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
События А и В называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или не появления другого, и независимыми в противном случае. Вероятность произведения вычисляется согласно теоремам 3 и 4.
Теорема 3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей: На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.
Условнойвероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что события А уже наступило и вычисляется
Теорема 4. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило Если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности , то события А и В независимы, и применима теорема 3.
Пример 1. Из отдела в центральную бухгалтерию поступило 20 накладных, пять из них оформлены неправильно. Наудачу отбирают две накладные. Найти вероятность того, что среди них: 1) только одна оформлена неправильно; 2) обе оформлены неправильно. Введем события: А – {первая взятая накладная оформлена правильно}, В – {вторая взятая накладная оформлена правильно}. Тогда – {первая накладная оформлена неправильно}, – {вторая накладная оформлена неправильно}. Из условия задачи следует, что А и В зависимы. 1) Событие С – {только одна накладная оформлена неправильно} будет состоять из суммы двух несовместных событий С= Тогда 2) Событие D – {обе накладные оформлены неправильно}, тогда
Пример 2. В центральную бухгалтерию поступили накладные из двух отделов. Из первого 20 накладных, из них 5 оформлено неправильно, из второго – 25 накладных, 6 оформлено неправильно. Берут по накладной из каждого отдела. Найти вероятность того, что среди них: 1) только одна накладная оформлена правильно (событие Е); 2) хотя бы одна накладная оформлена правильно (событие F). Введем события: А – {накладная из первого отдела оформлена правильно}, В – {накладная из второго отдела оформлена правильно}. Отбор ведется из разных отделов, следовательно, А и В независимы. 1) Событие . Его вероятность 2) Вероятность события F найдем, используя вероятность противоположного события – {ни одной накладной правильно не оформлено}.
|