Тема 4 Повторные независимые испытания

 

 

Если производятся испытания, в каждом из которых вероятность появления события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться, причем вероятность появления события А постоянна и равна

 

1. Формула Бернулли.

Формула применяется, когда число испытаний не превышает 10.

Вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при проведении n независимых испытаний и не наступит n- k раз, вычисляется по формуле

,

 

где - вероятность появления события А в одном испытании,

- вероятность не появления события А в одном испытании,

.

и т.д.

 

обозначает вероятность того, что в n испытаниях событие А появится не менее, чем раз и не более, чем раз и вычисляется по формуле:

 

2. Локальная формула Лапласа. Применяется в случае, когда число испытаний n велико (п >10) и требуется найти вероятность того, что событие А наступит ровно k раз.

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А наступит ровно k раз в n независимых испытаниях и не наступит n- k раз, вычисляется по формуле:

где

Функция чётная и табулирована (ее значения для неотрицательных х приведены в приложении 1).

3. Интегральная формула Лапласа применяется в том случае, когда число испытаний n велико (n >10) и требуется найти вероятность того, что событие наступит от k ₁ до k ₂ раз.

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А наступит не менее, чем раз и не более, чем раз в n независимых испытаниях вычисляется по формуле:

 

;

 

 

где ,

- функция Лапласа.

Функция Ф(х) нечетная и табулирована (приложение 2).

 

4. Формула Пуассона применяется в том случае, когда число испытаний велико, а вероятность р наступления события А в каждом испытании мала (р <0.1 и np <10). Приближенная формула Пуассона имеет вид

причем .

5. Наивероятнейшее значение k ₀ числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний (при любом значении n) вычисляется по формуле:

 

Пример1. Вероятность того, что разговор по телефону состоится, равна 0,7. Производится 5 независимых вызовов. Найти:

1) наивероятнейшее число состоявшихся разговоров и соответствующую вероятность;

2) вероятность того, что состоится от 2 до 4 разговоров.

1) Запишем данные: .

Тогда

и

Вычислим

1)

Пример 2. Магазин получил 600 изделий. Вероятность того, что изделие высшего сорта равна 0,9. Найти вероятность того, что изделий высшего сорта:

1) ровно 530;

2) от 520 до 535;

3) изделий другого сорта от 70 до 80.

1) Запишем данные:

Тогда по локальной формуле Лапласа:

(по приложению 1).

2) По интегральной теореме Лапласа найдем вероятность того, что изделий высшего сорта будет от 520 до 535:

Ф(2,72)=0,4967 (по приложению 2).

3) Вероятность того, что изделие будет другого сорта Тогда . По интегральной теореме Лапласа вероятность того, что изделий другого сорта среди 600 будет от 70 до 80 будет равна:

Пример 3. Книга издана тиражом 10 тыс. экземпляров. Вероятность того, что книга сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит бракованных книг а) ровно 5; б) от 3 до 5.

По условию и

Тогда

По формуле Пуассона находим:

,