ПРИЛОЖЕНИЕ 1.С

В задачах 1.9 и 1.10 исходный вопрос решается путем нахождения определителя и сравнения его с нулем. В случае, когда элементы определителя заданы точно, следует вычислить определитель и правильно ответить на поставленный в задаче вопрос.

В случае, когда элементы определителя заданы приближенно с относительной погрешностью d, дело обстоит сложнее. Пусть элементы матрицы обозначены через . Тогда каждый элемент матрицы теперь уже не равен конкретному значению, а может принимать любое значение из oтрезка [ (1 - d); (1 + d) ], если > 0, и из отрезка [ (1 + d); (1 - d) ], если < 0. Множество всех возможных значений элементов матрицы представляет собой замкнутое ограниченное множество в 9-мерном пространстве. Сам определитель является непрерывной и дифференцируемой функцией 9 переменных - элементов матрицы . По известной теореме Вейерштрасса эта функция достигает на указанном множестве своего наибольшего и наименьшего значений M и m. Если отрезок [ m, M ] не содержит точку 0, то это означает, что при всевозможных допустимых значениях элементов матрицы определитель не обращается в 0. Если же точка 0 принадлежит отрезку [ m, M ], такое утверждение будет неправомерным. Будет иметь место неопределённость.

Нахождению значений m и M помогают следующие рассуждения. Как функция своих аргументов (элементов матрицы ) определитель обладает таким свойством (принцип максимума): эта функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений всегда на границе области. Более того, можно доказать, что эти значения достигаются в точках, координаты которых имеют вид (1 ± d). Таких точек 2 = 512. В каждой из них следует вычислить определитель, а затем выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое. Это и будут числа M и m.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

 

Вопросы и задачи
к защите лабораторной работы “Теория погрешностей и машинная арифметика”

1. Источники и классификация погрешностей. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности. Верные и значащие цифры. Способы округления.

2. Представление чисел в ЭВМ. Машинный нуль, машинная бесконечность, машинное эпсилон. Алгоритмы вычисления.

3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами.

4. Погрешность вычисления функций одной и нескольких переменных.

5. Погрешность вычисления неявной функции.

6. Числа заданы приближенно:
, ,
, ,
, .
Записать эти числа со всеми верными знаками.

7. Приближенное число a содержит 5 верных цифр. Что можно сказать об относительной погрешности числа a?

8. С какой относительной погрешностью нужно найти приближенное значение числа a, чтобы верными оказались 5 значащих цифр?

9. Для приближенных чисел a и b (a > b >0) известно, что (a)= (b)= . Оценить погрешности:
а) (a+b), b) (a-b), c) (a*b), d) (a/b).

10. Числа заданы приближенно: , , . Оценить погрешности:
a) разности , b) произведения .
Записать ответ с учетом верных цифр.

11. Указать правила оценки абсолютных и относительных погрешностей функций
a) , b) , c) .

12. Функция вычисляется при значениях , ,
. Найти значения . Записать результат со всеми верными цифрами.

13. Коэффициенты вычисляются с относительной погрешностью (a)= (b)= (с)= . Найти максимальную погрешность, с которой могут вычисляться корни уравнений:
a) , b) .

14. Функция вычисляется при значениях . Определить при каких значениях ответ будет содержать 3 верные цифры.

15. Корни уравнения нужно получить с четырьмя верными цифрами. С каким числом верных цифр нужно взять свободный член уравнения?

 

Литература

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. “Вычислительные методы для инженеров”. М.: Высшая школа, 1994.

2. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. “Численные методы в задачах и упражнениях”. М.: Высшая школа, 2000.

3. Сборник задач по методам вычислений. Под ред. Монастырного П.И.. М.: Физматлит, 1994.