Студопедия — Теорема об изменении кинетической энергии
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема об изменении кинетической энергии






Кинетической энергией материальной точки k называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости . Кинетической энергией механической системы называется арифметическая сумма кинетических энергий всех точек системы

. (3.35)

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тел в разных случаях движения.

Поступательное движение. В этом случае скорости всех точек тела одинаковы , где скорость центра масс тела.

. (3.36)

Вращательное движение. Скорость –ой точки тела , где расстояние точки до оси вращения.

, (3.37)

где момент инерции тела относительно оси вращения .

Плоское движение. Из кинематики известно, что плоское движение в некоторый момент времени можно рассматривать как мгновенный поворот тела вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей.

В этом случае . Пусть точка – центр масс. По теореме Гюйгенса-Штейнера (3.22): . Кинетическая энергия тела при плоском движении

. (3.38)

Здесь момент инерции тела относительно центральной оси, скорость центра масс, мгновенная угловая скорость, – масса тела.

Докажем теорему об изменении кинетической энергии для материальной точки. Запишем второй закон Ньютона в проекции на касательную (3.5): . Касательное ускорение . Следовательно, закон Ньютона примет вид

или , (3.39)

где элементарная работа силы на перемещении точки . Элементарную работу можно записать иначе:

· . (3.40)

Здесь · скалярное произведение векторов, радиус-вектор точки .

Поскольку , то аналитическое выражение элементарной работы силы :

. (3.41)

Проинтегрировав (3.39) в пределах изменения переменных в точках и , найдем окончательно

. (3.42)

Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме: изменение кинетической энергии точки на некотором ее перемещении равно сумме работ приложенных сил на том же перемещении.

Для произвольной точки механической системы выражение(3.42) имеет вид: . Для всей системы . Если обозначить кинетическую энергию всей системы в ее начальном положении

, а в конечном положении , то

. (3.43)

Уравнение (3.43) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил. Отметим, что в общем случае сумма работ внутренних сил не равна нулю. Для абсолютно твердого тела , так как расстояния между любыми точками тела не изменяются.

Работа силы тяжести. Пусть точка переместилась под действием силы тяжести из положения в положение (рис. 3.7). По формуле (3.41) найдем элементарную работу силы : Полная работа силы на перемещении будет или

, (3.44)

 
 

где − высота, на которую опустилась точка. Таким образом, работа силы тяжести положительна, когда точка опускается, и отрицательна, когда точка поднимается.

Работа силы упругости пружины. Пусть груз прикреплен к пружине жесткости с (рис. 3.8). Выберем начало координаты в положении , при котором пружина не деформирована (ее длина равна l ), и определим работу силы упругости пружины при перемещении ее нижнего конца из начального положения в конечное положение . Пусть λ , λ начальная и конечная деформации пружины. Согласно закону Гука . Проекции силы на оси координат: . Элементарная работа . Полная работа

λ –λ )или = –λ ). (3.45)

Работа силы упругости положительна, если начальная λ деформация пружины больше конечной λ .

Работа силы трения скольжения. Пусть тело перемещается по наклонной шероховатой плоскости из положения в положение . Действующая на тело сила трения , где – нормальная реакция плоскости, – коэффициент трения скольжения. Сила трения направлена противоположно перемещению тела, поэтому работа силы трения отрицательна. Если считать силу трения во время движения постоянной, то

 
 

= = . (3.46)

В данном случае , , следовательно

.

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу. Для тела, вращающегося вокруг оси , элементарная работа приложенной к телу силы равна , где модуль касательной составляющей силы , – элементарный угол поворота тела вокруг оси . Нетрудно заметить, что – момент силы относительно оси вращения . Будем называть величину вращающим моментом. Тогда элементарная работа . При повороте на конечный угол работа

, (3.47)

а в случае постоянного момента из (3.47) следует .

Вопросы для самоконтроля







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 776. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Краткая психологическая характеристика возрастных периодов.Первый критический период развития ребенка — период новорожденности Психоаналитики говорят, что это первая травма, которую переживает ребенок, и она настолько сильна, что вся последую­щая жизнь проходит под знаком этой травмы...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия