Теорема об изменении количества движения

Количеством движения материальной точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Направлен этот вектор так же, как и скорость точки, т.е. по касательной к траектории. Единицей измерения количества движения является 1 · м/с = 1 Н·с.

Количеством движения механической системы называется векторная сумма количеств движений всех точек системы:

. (3.23)

Установим связь между количеством движения системы и скоростью центра масс механической системы. Возьмем производную по времени от обеих частей второго уравнения (3.10)

или .

Сравнивая это уравнение с (3.23), получаем

. (3.24)

Количество движения системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Докажем теорему об изменении количества движения материальной точки. Основной закон динамики точки (3.3) представим в виде или, разделив переменные, можно записать

. (3.25)

Пусть движущаяся точка имеет в момент времени скорость , а в момент – скорость . Возьмем от выражения (3.25) определенные интегралы:

.

Величина называется элементарным импульсом силы , а величина – импульсом силы за промежуток времени . После интегрирования получим теорему об изменении количества движения точки в интегральной форме:

. (3.26)

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Докажем эту теорему для механической системы. Возьмем от левой и правой частей (3.23) производные по времени: . Учитывая (3.11), получим теорему об изменении количества движения механической системы:

. (3.27)

Производная по времени от количества движения системы равна сумме действующих на систему внешних сил.

Интегрируя уравнение (3.27), получим выражение теоремы в интегральной форме:

или . (3.28)

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.