Теорема об изменении момента количества движения системы

Моментом количества движения точки относительно некоторого центра называется векторная величина , определяемая равенством

. (3.29)

Здесь выражение в квадратных скобках − векторное произведение радиус-вектора на вектор количества движения движущейся точки . Получается, что вектор , проходящий через центр , направлен перпендикулярно плоскости, образованной векторами , . Определение (3.29) аналогично определению момента силы (1.4).

Вычислим от равенства (3.29) производную по времени:

В полученном выражении , как векторное произведение двух параллельных векторов. Согласно (1.4) справедливо равенство . В результате, получается

. (3.30)

Доказана теорема моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Определим момент количества движения (кинетический момент) твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Считаем, что тело состоит из материальных точек. Выберем произвольную точку K, отстоящей от оси на расстоянии . Момент количества движения точки K относительно оси будет . Кинетический момент вращающегося тела относительно оси : . Величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инерции тела относительно оси (3.14), следовательно

. (3.31)

Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на угловую скорость тела.

Докажем теорему моментов для механической системы. Выражение (3.30) для – ой точки системы можно записать так:

где и – равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на точку. Для механической системы

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Учитывая, что кинетический момент системы относительно центра , получим

. (3.32)

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна сумме моментов внешних сил относительно того же центра.

Проектируя обе части (3.32) на ось , получим

. (3.33)

Для вращающегося твердого тела выполняется равенство (3.31), поэтому выражение (3.33) можно представить в другом виде:

или

. (3.34)

Уравнение (3.34) называется дифференциальным уравнением вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции твердого тела относительно оси на угловое ускорение () тела, вращающегося вокруг оси , равно сумме моментов внешних сил относительно той же оси .