Моменты инерции

Движение механической системы зависит не только от массы тела, но и от момента инерции. Момент инерции есть мера инертности при вращательном движении тела. Осевой момент инерции относительно оси равен сумме произведений массы каждой точки системы на квадрат ее расстояния до оси (рис. 3.3):

. (3.14)

Из определения следует, что осевой момент инерции тела или системы относительно любой оси является величиной положительной.

По теореме Пифагора , следовательно

.

Аналогично вычисляются моменты инерции относительно других осей:

, . (3.15)

Найдем осевые моменты инерции некоторых однородных тел.

Тонкий однородный стержень длиной и массой . Сначала вычислим момент инерции относительно оси , проходящей через его начало (рис. 3.4). На расстоянии от оси выделим элемент длиной и массой · . Момент инерции элемента · . Интегрируя, получаем

. (3.16)

Для вычисления момента инерции стержня относительно центральной оси нужно в (3.16) изменить пределы интегрирования. В этом случае

. (3.17)

Цилиндр. Вычислим момент инерции полого цилиндра массой M относительно продольной оси z. Цилиндр радиуса R имеет отверстие радиуса r (рис. 3.5). Ось цилиндра перпендикулярна к рисунку.

Выделим элементарное сечение в виде кольца радиуса и толщиной . Учитывая, что масса единицы площади сечения равна , получаем массу элементарного цилиндра радиуса толщиной : . Здесь – площадь элементарного сечения, - площадь сечения полого цилиндра. Момент инерции полого цилиндра

. (3.18)

Используя (3.18), можно вычислить в частных случаях:

а) Момент инерции тонкостенного цилиндра или кольца радиуса . Полагая в формуле (3.18) , получаем

. (3.19)

б) Момент инерции сплошного цилиндра или круглой пластины радиуса . Полагая в формуле (3.18) , находим:

. (3.20)

Радиусом инерции тела относительно оси z называется линейная величина , определяемая равенством

. (3.21)

Найдем зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей. Пусть ось проходит через центр масс тела, а ось – через произвольную точку на расстоянии от оси (рис.3.6). Моменты инерции тела относительно этих осей будут равны

, (а)

. (б)

Координаты точки в системах и связаны соотношениями ; . Подставляя эти координаты в выражение (б), получим:

Из второй формулы (3.9) следует . Так как ось проходит через центр масс, то , следовательно, . Кроме того . Учитывая полученные равенства и выражение для , находим

. (3.22)

Формула (3.22) выражает теорему Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции этого тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями.