Плоское движение твердого тела

Плоским (или плоскопараллельным) называется движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной неподвижной плоскости.

Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо, произвольное движение книги по поверхности стола и т.д. Отметим, что при исследовании плоского движения книги достаточно определить движение одного ее листа.

Пусть тело (рис. 2.8) движется параллельно плоскости . В этом случае для исследования движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости , параллельной плоскости , сечение этого тела (рис. 2.9). Положение плоской фигуры S в сечении определяется положением какого-нибудь проведенного отрезка АВ на этой фигуре. В свою очередь, положение отрезка АВ можно определить, зная координаты точки А и угол φ, который отрезок АВ образует с осью . Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

Уравнения

, , , (2.29)

определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Плоское движение можно рассматривать как составное движение, состоящее из поступательного движения фигуры с полюсом A и

вращения фигуры вокруг этого полюса.

Первые два уравнения в (2.29) определяют поступательное движение плоской фигуры с полюсом А, а третье уравнение – вращение фигуры вокруг полюса А. Можно доказать, что вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

Пусть и радиусы-векторы точек А и В плоской фигуры, причем (рис. 2.10). Будем считать точку А полюсом. Отметим, что полюсом, как правило, считают точку, скорость и ускорение которой известны. По определению (2.2) скорость точки А

,

а скорость точки В . (2.30)

Таким образом, скорость произвольной точки тела при плоском движении геометрически складывается из скорости полюса в поступательном движении твердого тела и скорости, с которой эта точка вместе с телом вращается вокруг полюса.

 

Вектор и численно равен , где ω – угловая скорость плоской фигуры. Проектируя обе части равенства (2.30) на отрезок прямой АВ (рис.2.11), находим

. (2.31)

Проекции скоростей двух точек тела на отрезок прямой, соединяющий эти точки, равны.

При плоском движении в каждый момент времени существует точка скорость которой равна нулю (). Такая точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Движение плоской фигуры можно рассматривать как мгновенный поворот ее вокруг точки Р. Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей: ; , где ω – угловая скорость плоской фигуры в данный момент времени. Чтобы

найти скорость некоторой точки С плоской фигуры (на рис. 2.12 она не показана), нужно соединить точку С с точкой Р и направить перпендикулярно к отрезку РС вектор скорости в сторону мгновенного поворота вокруг точки Р. Величина скорости будет . Иллюстрация этого правила для случая, когда векторы скоростей разных точек плоской фигуры параллельны, показана на рис. 2.13.

Если перпендикуляры, восставленные к векторам и , не пересекаются, то скорости всех точек плоской фигуры в данный момент времени одинаковы (), угловая скорость (рис.2.14). Такое состояние движения тела называют мгновенно поступательным.

При качении колеса по неподвижной поверхности мгновенным центром скоростей является точка сцепления колеса с поверхностью (рис. 2.15). Если радиус колеса и скорость центра колеса известны, то можно определить мгновенную угловую скорость и скорости других точек: ; , .