Кинематика точки

, , . (2.5)

Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, надо из них исключить параметр t. Следует отметить, что в процессе движения точка может описывать не всю кривую, а только ее часть. Поэтому для определения траектории точки М необходимо задать пределы изменения ее координат в интервале времени движения. Если этот интервал не определен, то параметр времени изменяется в интервале .

Спроектируем равенство (2.2) на координатные оси. Учитывая (2.4), получаем

или .

Здесь

, , (2.6)

– проекции вектора скорости на оси координат. Точку над буквой будем считать символом дифференцирования по времени. Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих переменных координат точки. Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы α, β, γ, которые вектор образует с координатными осями) по формулам

,

, , . (2.7)

Вектор ускорения точки . Отсюда на основании формул (2.3) и (2.4) получаем:

, ,

или , , . (2.8)

Проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения точки определяются по формулам

, , , , (2.9)

где , , - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

В случае прямолинейного движения, которое задается одним уравнением , скорость и ускорение точки будут

, . (2.10)

Естественный способ задания движения. Этим способом удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна. Пусть точка М движется по некоторой криволинейной траектории (рис. 2.2). Выберем произвольный центр О за начало отсчета, а также положительное направление отсчета криволинейной координаты s. Положение точки М на траектории в любой момент времени можно определить, если задан закон движения точки в естественной форме,т.е. задан закон изменения координаты

. (2.11)

Установим связь между естественным и координатным способами задания движения точки. В курсе дифференциальной геометрии доказано равенство , где – элементарное перемещение точки вдоль дуги траектории за время , а - проекции элементарного перемещения на оси х, у, z. Разделим обе части равенства на :

,

где – алгебраическая скорость точки:

. (2.12)

Первая производная по времени от криволинейной координаты называется алгебраической скоростью точки.

Так как всегда , то знак совпадает со знаком . Если , то скорость направлена в сторону положительного отсчета координаты , а если , то – в противоположную сторону.

Естественными осями называют подвижную прямоугольную систему осей, направленных по касательной, главной нормали и бинормали к траектории. Эти оси, называемые осями естественного трехгранника, направлены следующим образом: ось Мτ; – по касательной к траектории в сторону положительного отсчета координаты ; ось Мn – по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости М τ n и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Мb – перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую систему осей (рис. 2.3). Орты являются ортами касательной τ;, главной нормали n и бинормали b. Они перемещаются вместе с точкой по траектории, изменяя свои направления.

Определение ускорения при естественном способе задания движения. Вектор скорости направлен по касательной (рис. 2.3). Подставляя выражение вектора скорости в виде в формулу (2.3), получаем

. (2.13)

Вектор направлен вдоль касательной в сторону возрастания координаты s при . При этот вектор направлен в противоположную сторону.

Величина и направление второго слагаемого (2.13) зависит от производной . Так как является вектором с постоянным модулем, его производная по скалярному аргументу t является вектором, перпендикулярным и равным произведению модуля на производную угла его поворота по времени: . Следовательно, . Предел отношения элементарного угла поворота касательной к длине соответствующей дуги кривой равен кривизне кривой k в данной точке или величине, обратной радиусу кривизны кривой ρ в данной точке: .

Таким образом, вектор ускорения точки расположен в соприкасающейся плоскости и раскладывается на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых направлена по касательной к траектории точки, а вторая – по главной нормали к этой траектории в сторону вогнутости:

. (2.14)

Составляющая ускорения в направлении бинормали равна нулю . Вектор называется вектором касательного ускорения. Алгебраическая величина касательного ускорения равна

или . (2.15)

Касательное ускорение определяет изменение величины (модуля) скорости. Если , то скорость точки увеличивается – ее движение ускоренное и направления векторов и совпадают (рис. 2.4). Если , то скорость точки уменьшается – движение замедленное, направления векторов и противоположны (рис. 2.5).

Вектор называется вектором нормального ускорения. Из (2.14) следует, что его модуль

. (2.16)

Нормальное ускорение определяет изменение направления вектора скорости. Нормальное ускорение может быть равным нулю в трех случаях: 1) точка движется по прямой ; 2) в данный момент времени скорость точки равна нулю ; 3) движущаяся точка находится в точке перегиба траектории .

По составляющим и можно определить модуль ускорения:

. (2.17)

Получим еще одну формулу для определения модуля касательного ускорения. Из (2.7) имеем . Производная по времени от этого выражения . Отсюда

. (2.18)

Формулой (2.18) можно воспользоваться в случае, если движение точки задано координатным способом.

Частные случаи движения точки.

а) Равномерное движение. Движение точки с постоянной алгебраической скоростью называется равномерным. В этом случае , . Интегрируя выражение (2.12), получим , где С – постоянная интегрирования, определяемая из начального условия. Пусть при t = 0 координата точки имела значение s ₀. Подставляя эти значения в выражение для , находим . Следовательно, , и закон движения точки записывается так:

. (2.19)

Ускорение в случае равномерного криволинейного движения точки равно нормальному ускорению . При прямолинейном равномерном движении ускорение равно нулю, т.к. .

б) Равнопеременное движение. Движение точки с постоянным по модулю касательным ускорением называется равнопеременным. Найдем закон изменения скорости и закон движения точки. Пусть при начальная скорость и начальная координата . Так как , то согласно (2.15) . Интегрируя, получим . В свою очередь , и поэтому, с учетом выражения для , после интегрирования . Постоянные интегрирования найдем из начальных условий. Для момента времени

, .

Следовательно, , и выражения для и s записываются следующим образом:

, . 2.20)