Задача №9. Тело массой кг начинает движение в трубке , расположенной в вертикальной плоскости, с начальной скоростью

Тело массой кг начинает движение в трубке , расположенной в вертикальной плоскости, с начальной скоростью 2,2 м/с под действием силы тяжести и силы кН(рис.13).

Длина участка 0,7м. Трением на участке пренебречь. На участке на тело кроме силы тяжести действует сила трения скольжения. Коэффициент трения f = 0,68. Сила .

Определить скорость тела в точке , время движения тела на участке и длину участка , предполагая, что .

Решение. Сначала рассмотрим движение тела на участке . Направим ось x вдоль и составим дифференциальное уравнение движения тела на этом участке:

,

где вес тела, 10 м/с². Преобразуем ускорение к виду:

. Вычислим sin45^o =20Н – 2кг ∙;10м/с² ∙;0,707 =

= –5,86 Н. Имеем при скорость ; при . Разделяя переменные, интегрируем дифференциальное уравнение:

. Отсюда .

Скорость тела в точке : 0,859 м/с.

Теперь рассмотрим движение тела на участке . Направим ось от точки в сторону движения тела. На тело действуют силы: . Реакцию трубки найдём из уравнения равновесия: 30^о = 0, 30^о = 2 кг∙ 10 м/с² ∙ 0,866 = = 17,32Н. По закону Кулона сила трения 17,32 Н∙ 0,68 =

= 11,78 Н.

В начальном положении тела (в точке ) время 0, координата (0) = 0, скорость (0) = . В конечном положении тела (в точке ) время , координата и по условию задачи скорость .

Согласно второму закону динамики составим дифференциальное уравнение движения тела (материальной точки) в проекции на ось :

.

Правая часть уравнения: 2 кг ∙ 10 м/с²∙ 0,5 –

– 11,78 Н= – 1,78 Н. Перенесём в правую часть и интегрируем:

, 2( или .

Заменив на = 0 и на , найдём время движения тела на участке : 0,859/0,89 = 0,965 с. Скорость тела выразим через первую производную от координаты : .

Перенесём в правую часть и интегрируем

. Отсюда = 0,415 м.

Ответ: 0,859 м/с, 0,965 с, 0,415 м.