Задача №5. Точка движется в плоскости по закону: (см), (см)

Точка движется в плоскости по закону: (см), (см). Найти уравнение траектории. В момент времени 1с определить скорость точки, ускорение и их составляющие на координатные и естественные оси, а также радиус кривизны траектории для соответствующего момента времени.

Решение.

1) Найдём уравнение траектории.

Для этого из уравнений движения исключаем параметр . Второе уравнение запишем в виде и найдём разность . Это и есть уравнение траектории (уравнение прямой). Следовательно, движение точки прямолинейное. Так как время изменяется в интервале < ∞, то координаты точки изменяются в интервалах 2 см > – ∞, 3 см > – ∞. Начальное положение точки при определяется координатами = 2 см; = 3 см; (2;3). Для момента времени 1с 2 − 3 − 6 = − 7 см; 3 − 1,5 − 3 =

= 1,5 см; (–7;–1,5). Прямую строим по двум точкам: и (рис.8).

2) Определим скорость точки.

Сначала найдём проекции скорости на оси :

;

.

В момент времени 1с: см/с, = –7,5 см/с. Модуль скорости 16,77 см/с.

На рис.8 от точки проведём оси , и на них отложим , , по которым построим вектор скорости, направленный по касательной к траектории. В случае прямолинейного движения точки вектор скорости направлен вдоль траектории.

3) Определим ускорение точки.

Проекции ускорения на оси :

12 см/с², 6 см/с².

Модуль ускорения точки 13,42 см/с².

На рис.6 от точки проведём оси , и отложим на них , . Вектор ускорения построим по составляющим , .

Обратим внимание, что единицы измерений координат , проекций скорости , и ускорения , отличаются. Поэтому при построении траектории, векторов скорости и ускорения могут быть назначены разные единицы масштаба.

4) Определим составляющие ускорения на касательную и главную нормаль. Найдём радиус кривизны траектории.

Направим вдоль вектора скорости касательную, а перпендикулярно касательной – главную нормаль. На эти оси спроектируем конец вектора ускорения. Таким образом, вектор ускорения раскладывается на касательную и нормальную составляющие: , а модуль ускорения равен .

Касательное ускорение вычисляется по формуле:

. Тогда можно определить нормальное ускорение . Радиус кривизны траектории .

В случае прямолинейного движения точки и, следовательно, , . Радиус кривизны траектории .

Ответ: уравнение траектории: ; 15 см/с, 7,5 см/с, 16,77 см/с; 12 см/с², 6 см/с², =13,42 см/с², ; . Поскольку > 0, то движение точки будет ускоренным – на рисунке векторы скорости и касательного ускорения имеют одинаковые направления. Касательное ускорение точки постоянное (не зависит от времени), следовательно, движение точки будет равноускоренным.