Задача №10

Тело весом 18 Н скользит без трения под действием силы тяжести по кольцу радиуса 0,45 м, расположенным в вертикальной плоскости (рис.14). В начальный момент времени тело находится в положении ( 60^о) и имеет скорость 6 м/с.

Считая тело материальной точкой, определить:

1) скорость и ускорение тела в положении ( 225^о);

2) импульс действующих сил за время перемещения тела из положения в положение .

Решение. На тело действуют сила тяжести и нормальная реакция кольца . Определим скорость тела в положении . Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки:

. Работа силы на перемещении равна нулю, работа силы тяжести . Масса тела 18 / 10 = 1,8 кг. Вертикальное перемещение тела 0,45 м(0,5 + 0,707) = 0,543 м. Тогда получим 1,8 ( 36) /2 = 18∙0,543. Отсюда находим скорость тела в положении : 6,85 м/с.

Определим ускорение тела в положении . Оно состоит из суммы векторов касательного и нормального ускорений: . Модуль нормального ускорения определяется по формуле (6,85 м/с) ² / 0,45 м = 104 м/с². Вектор нормального ускорения направлен к центру кольца. Для определения касательного ускорения применим теорему об изменении момента количества движения точки относительно центра в алгебраической форме:

.

Момент количества движения точки ; момент силы тяжести ; момент нормальной ре-акции , т.к. линия действия силы пересекает точку . Тогда . Отсюда получим величину касательного ускорения . Определим касательное ускорение в точке : 225^о = 10 м/с²∙(–0,707) = –7,07 м/с².

Обратим внимание, что в интервале 0< <180^о тело движется ускоренно ( > 0), а в интервале 180^о< <360^о тело движется замедленно ( < 0). Модуль ускорения точки в положении :

м/с².

Определим импульс действующих на тело сил за время перемещения его из положения в положение . Для этого воспользуемся теоремой об изменении количества движения точки:

, (1)

где вектор количества движения тела в положении ;

вектор количества движения тела в положении ;

вектор импульса сил за время движения тела по кольцу из точки в точку .

Проектируем векторное уравнение (1) на оси (см. рис.14):

cos45^o cos60^o) = – 1,8 кг(6,85 м/с∙ 0,707 + 6 м/с∙ 0,5) =

= – 14,1 Н∙с – проекция вектора импульса сил на ось x;

sin45^o–(– sin60^o)) = 1,8 кг(6,85 м/с∙ 0,707 + 6 м/с ∙ 0,866) =

= 18,1 Н∙с – проекция вектора импульса сил на ось y.

Модуль импульса сил: 22,9 Н∙с.

Ответ: 6,85 м/с; 104,2 м/с²; 22,9 Н∙с.