Однородные.
Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид: (8) где р 1 и р 2 — действительные числа. Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного ДУ достаточно найти два линейно независимых частных решения и уравнения (12), чтобы записать общее решение: Где y00 – общее решение однородного уравнения. Будем искать решение уравнения (8) в виде где некоторая постоянная. Чтобы определить подставим в уравнение (8). Так как то (9) Квадратное уравнение (9) называют характеристическим уравнением для ДУ (8), а его корни и характеристическими числами. При решении характеристического уравнения (9) могут возникнуть три случая: а) Корни и действительные и различные. Тогда общее решение уравнения (8) будет иметь вид: (10) б) Корни и действительные и равные, Общее решение уравнения (8) будет иметь вид: (11) в) Корни и комплексно сопряженные, Тогда общее решение уравнения (8) примет вид: (12) Пример 13. Найти общие решения линейных однородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами: а) б) в) г) Решение. а) Составим характеристическое уравнение: Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения: Получим корни: Поскольку и то общее решение запишем в виде (10): б) Характеристическое уравнение: его корни найдем по формуле корней квадратного уравнения: Поскольку то общее решение запишем в виде (11): в) Характеристическое уравнение: его корни найдем по формуле корней квадратного уравнения: Получим комплексно сопряженные корни где а =1, b =4. Решение запишем в виде (12): г) Характеристическое уравнение: Решим его: — комплексно сопряженные корни вида где а = 0, b = 1,3. Решение запишем в виде (16), при этом учтем, что
|