Однородные.

Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

(8)

где р ₁ и р ₂ — действительные числа.

Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного ДУ достаточно найти два линейно независимых частных решения и уравнения (12), чтобы записать общее решение:

Где y₀₀ – общее решение однородного уравнения.

Будем искать решение уравнения (8) в виде где некоторая постоянная. Чтобы определить подставим в уравнение (8).
В результате подстановки получим уравнение

Так как то

(9)

Квадратное уравнение (9) называют характеристическим уравнением для ДУ (8), а его корни и характеристическими числами. При решении характеристического уравнения (9) могут возникнуть три случая:

а) Корни и действительные и различные. Тогда общее решение уравнения (8) будет иметь вид:

(10)

б) Корни и действительные и равные, Общее решение уравнения (8) будет иметь вид:

(11)

в) Корни и комплексно сопряженные, Тогда общее решение уравнения (8) примет вид:

(12)

Пример 13. Найти общие решения линейных однородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

а) б)

в) г)

Решение.

а) Составим характеристическое уравнение:

Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:

Получим корни:

Поскольку и то общее решение запишем в виде (10):

б)

Характеристическое уравнение:

его корни найдем по формуле корней квадратного уравнения:

Поскольку то общее решение запишем в виде (11):

в)

Характеристическое уравнение:

его корни найдем по формуле корней квадратного уравнения:

Получим комплексно сопряженные корни где а =1, b =4.

Решение запишем в виде (12):

г)

Характеристическое уравнение:

Решим его:

— комплексно сопряженные корни вида где а = 0, b = 1,3. Решение запишем в виде (16), при этом учтем, что