Неоднородные линейные ДУ.

Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

(13)

Здесь — известная функция, непрерывная на некотором промежутке.

Согласно теореме о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ общее решение ДУ (13) есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (8) и любого частного решения неоднородного уравнения (13), т. е.

(14)

Рассмотрим, в каком виде можно искать частное решение ДУ (18), когда правая часть уравнения имеет специальный вид.

Пусть и корни характеристического уравнения (9), а правая часть уравнения имеет вид:

(15)

где — многочлены от х степеней n и m соответственно с известными коэффициентами.

Тогда частное решение следует искать в виде:

(16)

где k — кратность корня характеристического уравнения:

При этом многочлены от х степени с
некоторыми, пока неизвестными, коэффициентами. Неизвестные коэффициенты многочленов и находят методом неопределенных коэффициентов.

Пример 14. Найти общее решение линейных неоднородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

а) б)

Решение. а)

Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ:

Характеристическое уравнение:

Поскольку и то общее решение запишем в виде (10), при этом учтем, что

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения

Сравнивая ее с видом (15) заключаем, что Определим параметры частного решения (16). Учитывая, что а получим, что не является корнем характеристического уравнения, поскольку корни Следовательно, k = 0. Найдем Следовательно, порядок многочленов R и S равен 0, т. е. R ₀ = A, а S ₀ = B, где А и В — некоторые неизвестные пока коэффициенты. Подставив полученные параметры в имеем:

Коэффициенты А и В определим из условия, что функция у _чн — решение уравнения и поэтому должна ему удовлетворять. Найдем и

и подставим в исходное уравнение:

Приравняем коэффициенты при и в правой и левой частях полученного равенства:

Итак,

Тогда согласно (15) общее решение неоднородного ДУ имеет вид:

б)

Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ:

Характеристическое уравнение:

Найдем его корни:

Поскольку и то общее решение запишем в виде (10):

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения Сравнивая ее с видом (15) заключаем Определим параметры частного решения (21). Учитывая, что а получим, что однократный корень характеристического уравнения, поскольку корни Следовательно, k = 1. Найдем Следовательно, порядок многочленов R и S равен 1, т. е. а где А, В, С, D — неизвестные коэффициенты. Подставляя полученные параметры в имеем:

Для определения коэффициентов А и В найдем и

и подставим в исходное уравнение:

Разделим обе части уравнения на и приведем подобные члены:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях уравнения:

Итак,

Тогда согласно (14) общее решение неоднородного ДУ имеет вид: