Линейные ДУ первого порядка.

Если обыкновенное дифференциальное уравнение можно привести к виду

, (5)

где p(x) и q(x) функции, не зависящие от y, а только от переменной x, то такое уравнение называется линейным (относительно y).

Линейные ОДУ первого порядка решают с помощью замены , (6)

где U(x) и V(x) две пока неизвестные функции.

Найдем теперь производную по правилу дифференцирования произведения:

(7)

Подставив выражения (6) и (7) для y и y' в уравнение, получим:

Одной из функций U или V можно распорядиться по нашему усмотрению так, чтобы максимально упростить полученное уравнение. Чтобы понять, как наиболее удобно это сделать, вынесем из второго и третьего слагаемых общий множитель U за скобку:

Теперь видно, что если положить , то оставшееся уравнение приобретет максимально простой вид. Таким образом, это уравнение распадается на два уравнения, каждое из которых является уравнением с разделяющимися переменными:

Теперь, найдя из первого уравнения функцию V(x), подставим ее во второе и найдем функцию U(x). А так как неизвестная функция y(x)=UV, то, значит, мы нашли и ее.

Пример 12: Найти общее решение ДУ: .

Решение.

Поделим уравнение на и перенесем слагаемое в правую часть:

Следуя процедуре, изложенной выше, подставим в уравнение замену :

Уравнение распадается на два уравнения с разделяющимися переменными:

Интегрируем Находим V Подставляем во второе уравнение

 

Итак: , а . Тогда .