Линейные ДУ первого порядка.
Если обыкновенное дифференциальное уравнение можно привести к виду
где p(x) и q(x) функции, не зависящие от y, а только от переменной x, то такое уравнение называется линейным (относительно y). Линейные ОДУ первого порядка решают с помощью замены где U(x) и V(x) две пока неизвестные функции. Найдем теперь производную
Подставив выражения (6) и (7) для y и y' в уравнение, получим:
Одной из функций U или V можно распорядиться по нашему усмотрению так, чтобы максимально упростить полученное уравнение. Чтобы понять, как наиболее удобно это сделать, вынесем из второго и третьего слагаемых общий множитель U за скобку:
Теперь видно, что если положить
Теперь, найдя из первого уравнения функцию V(x), подставим ее во второе и найдем функцию U(x). А так как неизвестная функция y(x)=UV, то, значит, мы нашли и ее. Пример 12: Найти общее решение ДУ: Решение. Поделим уравнение на
Следуя процедуре, изложенной выше, подставим в уравнение замену
Уравнение распадается на два уравнения с разделяющимися переменными:
Итак:
|
, (5)
, (6)
по правилу дифференцирования произведения:
(7)
, то оставшееся уравнение приобретет максимально простой вид. Таким образом, это уравнение распадается на два уравнения, каждое из которых является уравнением с разделяющимися переменными:
.
и перенесем слагаемое 
в правую часть:
Интегрируем
Находим V
Подставляем во второе уравнение 
.
