ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными.

Если в результате каких-либо преобразований ДУ первого порядка удалось привести к виду

, (3)

то говорят, что это дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (переменные «разделились» по разные стороны от знака равенства). Тогда решение этого ДУ может быть найдено в квадратурах:

, где - первообразные функций и соответственно.

Пример 10. Найти общее решение ДУ:

Решение.

Представим производную как отношение дифференциалов:

Разнесем слагаемые по разные стороны от знака равенства:

, откуда .

Получили уравнение с разделяющимися переменными, откуда, интегрируя правую и левую части, получим:

. Знак постоянной С выбран отрицательным для того, чтобы можно было чуть упростить решение, отбросив знак минус.

.

Это выражение и является общим решением ДУ.

 

Пример 10. Найти решение задачи Коши для ДУ:

с начальным условием .

Решение.

Подставим в полученное выражение начальное условие:

Решение задачи Коши:

Обыкновенное дифференциальное уравнение называется однородным если при замене , а оно не меняется.

Другими словами, если уравнение можно привести к виду

(4)

где f – любая функция, то оно является однородным.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными типа (3) с помощью подстановки .

Пример11: решить уравнение .

Покажем, что это уравнение однородное. Для этого поделим его обе части на .

Поделив почленно правую часть на x:

.

Слева стоит производная y, а справа функция, зависящая только от . Уравнение является однородным. Применим замену .

Сократим на u и поделим на x:

Возвращаясь к исходной неизвестной функции

.

Кроме этого, есть еще решение , которое было потеряно при делении на x.