Метод бисекции

(Лабораторная работа №3)

Если найден отрезок [a,b], такой, что (a) (b)<0, существует точка c, в которой значение функции равно нулю, т.е. (с)=0, сÎ(a,b). Метод бисекции состоит в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, на концах которых функция имеет разные знаки. Каждый последующий отрезок получается делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти нуль функции (корень уравнения с любой заданной точностью.

Рассмотрим один шаг итерационного процесса. Пусть на (n-1)-м шаге найден отрезок [a_n-1, b_n-1]Ì[a, b], такой, что (a_n-1) (b_n-1)<0. Разделим его пополам точкой x=(a_n-1 +b_n-1)/2 и вычислим (x). Если (x)=0, то x=(a_n-1+b_n-1)/2- корень уравнения. Если (x)¹0, то из двух половин отрезка выбирается та, на концах которой функция имеет противоположные знаки, поскольку искомый корень лежит на этой половине, т.е.

a_n=a_n-1, b_n=x, если (x) (a_n-1) < 0;

a_n=x, b_n= b_n-1, если (x) (a_n-1) > 0.

Если требуется найти корень с точностью e, то деление пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2e. Тогда координата середины отрезка есть значение корня с требуемой точностью e.

Метод бисекции является простым и надежным методом поиска простого корня уравнения (простым называется корень x=c дифференцируемой функции , если (с) и (с)¹0). Этот метод сходится для любых непрерывных функций , в том числе недифференцируемых. Скорость его сходимости невысока. Для достижения точности e необходимо совершить N»log₂(b-a)/e итераций. Это означает, что для получения каждых трех верных десятичных знаков необходимо совершить около 10 итераций.

В лабораторной работе №3 предлагается, используя программы - функции BISECT и Round из файла methods.cpp (файл заголовков metods.h, директория LIBR1), найти корень уравнения методом бисекции с заданной точностью Eps, исследовать зависимость числа итераций от точности Eps при изменении Eps от 0.1 до 0.000001, исследовать обусловленность метода (чувствительность к ошибкам в исходных данных).

Выполнение работы осуществляется по индивидуальным вариантам заданий (нелинейных уравнений), приведенным в подразделе 3.6. Номер варианта для каждого студента определяется преподавателем.

Порядок выполнения работы должен быть следующим:

1) Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезки [Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям теоремы Коши).

2) Составить подпрограмму вычисления функции .

3) Составить головную программу, содержащую обращение к подпрограмме f(x), BISECT, Round и индикацию результатов.

4) Провести вычисления по программе. Построить график зависимости числа итераций от Eps.

5) Исследовать чувствительность метода к ошибкам в исходных данных. Ошибки в исходных данных моделировать с использованием программы Round, округляющей значения функции с заданной точностью Delta.

Текст программы-функции BISECT, предназначенной для решения уравнения методом бисекции, представлен в подразделе 3.7.