Метод Ньютона

(Лабораторная работа № 5)

 

В случае, когда известно хорошее начальное приближение решения уравнения , эффективным методом повышения точности является метод Ньютона. Он состоит в построении итерационной последовательности сходящейся к корню уравнения . Достаточные условия сходимости метода формулируются теоремой, приведенной в [1,7].

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 2). Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью Ох будет очередным приближением x_n+1 корня уравнения .

Для оценки погрешности n-го приближения корня предлагается пользоваться неравенством

где М₂-наибольшее значение модуля второй производной на отрезке [a,b]; m₁-наименьшее значение модуля первой производной на отрезке [a,b]. Таким образом, если то Это означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро (имеет место квадратическая сходимость). Из указанного следует, что при необходимости нахождения корня с точностью e итерационный процесс можно прекращать, когда

(3.1)

Рассмотрим один шаг итераций. Если на (n-1)-м шаге очередное приближение x_n-1 не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляются величины и следующие приближение корня При выполнении условия (3.1) величина x_n принимается за приближенное значение корня с, вычисленное с точностью e.

В лабораторной работе № 5 предлагается, используя программы-функции NEWTON и ROUND из файла methods.cpp (файл заголовков methods.h, директория LIBR1), найти корень уравнения с заданной точностью Eps методом Ньютона, исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.

Для данной работы вид функции задается индивидуально каждому студенту преподавателем из числа вариантов, приведенных в подразделе 3.6.

Порядок выполнения лабораторной работы №5.

1) Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезки [Left, Right], на котором функция удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона).

2) Составить подпрограммы - функции вычисления , , предусмотрев округление их значений с заданной точностью Delta.

3) Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к подпрограммам, , (x), Round, NEWTON и индикацию результатов.

4) Выбрать начальное приближение корня x₀ из [Left, Right] так, чтобы >0.

5) Провести вычисления по программе. Исследовать скорость сходимости метода и чувствительность метода к ошибкам в исходных данных.

Для приближенного вычисления корней уравнения методом Ньютона предназначена программа - функция NEWTON, текст которой представлен в подразделе 3.7.