Метод хорд

(Лабораторная работа №4)

Пусть найден отрезок [a, b], на котором функция меняет знак. Для определенности положим (a)>0, (b)<0. В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения c₀, c₁,... точек пересечения хорды с осью абсцисс, как это показано на рис.1.

Сначала находится уравнение хорды АВ:

Для точки пересечения ее с осью абсцисс (x=c₀, y=0) получается уравнение

Далее сравниваются знаки величин (a) и (с₀) и для рассматриваемого случая оказывается, что корень находится в интервале (a, c₀), так как (a) (с₀)<0. Отрезок [c₀,b] отбрасывается. Следующая итерации состоит в определении нового приближения c₁ как точки пересечения хорды АВ₁ с осью абсцисс и т.д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение (c_n) не станет по модулю меньше заданного числа e (см. подраздел 3.1).

Алгоритмы методов бисекции и хорд похожи, однако метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса, причем успех его применения, как и метода бисекции, гарантирован.

В лабораторной работе №4 предлагается, используя программы - функции HORDA и Round из файла methods.cpp (файл заголовков metods.h, директория LIBR1), найти корень уравнения с заданной точностью Eps методом хорд, исследовать скорость сходимости и обусловленности метода.

Для данной работы, как и для лабораторной работы №3 задаются индивидуальные варианты нелинейных уравнений (см. подраздел 3.6).

Порядок выполнения лабораторной работы №4:

1) Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезки [Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода).

2) Составить подпрограмму - функцию вычисления функции , предусмотрев округление значений функции с заданной точностью Delta с использованием программы Round.

3) Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к подпрограмме f(x), HORDA, Round и индикацию результатов.

4) Провести вычисления по программе. Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.

В подразделе 3.7 приводится текст программы - функции HORDA, предназначенной для решения уравнения методом хорд.