Составные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

(Лабораторная работа №6)

Повышения точности численного интегрирования добиваются путем применения составных формул. Для этого при нахождении определенного интеграла отрезок разбивают на четное число отрезков длины и на каждом из отрезков длины применяют соответствующую формулу. Таким образом получают составные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

На сетке , , , составные формулы имеют следующий вид:

формула прямоугольников

;

формула трапеций

;

формула Симпсона

,

где - îñòàòî÷íûå ÷ëåíû. При приближенные значения интегралов для всех трех формул (в предположении отсутствия погрешностей округления) стремятся к точному значению интеграла [1,7,8].

Для практической оценки погрешности квадратурной можно использовать правило Рунге. Для этого проводят вычисления на сетках с шагом и , получают приближенные значения интеграла и и за окончательные значения интеграла принимают величины:

- для формулы прямоугольников;

- для формулы трапеций;

- для формулы Симпсона.

За погрешность приближенного значения интеграла для формул прямоугольников и трапеций тогда принимают величину , а для формулы Симпсона .

В лабораторной работе №6 требуется, используя квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, вычислить значения заданного интеграла и, применив правило Рунге, найти наименьшее значение (наибольшее значение шага ), при котором каждая из указанных формул дает приближенное значение интеграла с погрешностью , не превышающей заданную.

Порядок выполнения лабораторной работы №6.

1) Составить программы-функции для вычисления интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.

2) Составить программу-функцию для вычисления подынтегральной функции.

3) Составить головную программу, содержащую оценку по Рунге погрешности каждой из перечисленных выше квадратурных формул, удваивающих до тех пор, пока погрешность не станет меньше , и осуществляющих печать результатов: значения интеграла и значения для каждой формулы.

4) Провести вычисления по программе, добиваясь, чтобы результат удовлетворял требуемой точности.

5) Результаты работы оформить в виде краткого отчета, содержащего сравнительную оценку применяемых для вычисления формул.

Варианты заданий приведены в таблице 4.1 ( = 0.01; 0.001; 0.0001).