С) Вероятность попадания в или выше указанной величины в конце определенного числа попыток.Доктор Richard Hecht (1995) предложил взять эту вероятность в качестве цели и использовал для этого численный метод определения оптимальной (в соответствии с этим критерием) фиксированной доли для p - q= 0.02 и различных с, n и определенных вероятностей успеха. Это - намного более легкая задача, чем похожая на нее (a). Для вероятности того, что X(T) в конце концов превысит цель, мы получаем:
где и = x/√T так что x=aT +b дает u√T = aT + b и U=aT1/2-bT-1/2. Интеграл равен
Для Примера (3.1): f =0.0117 и P=0.7947. Для Примера (3.2): P=0.7433. Пример (3.1) - для оптимальной доли Хечта, а Пример (3.2) - для оптимальной доли Кэлли, Обратите внимание на различие значений P. Наши числовые результаты соответствуют моделированию Хечта в проверенных нами случаях. Браун (1996) дал изящное решение проблемы в непрерывном приближении: какая стратегия максимизирует вероятность достижения установленной цели С к или до указанного времени n и какова соответствующая вероятность успеха? Обратите внимание, что, в общем случае, оптимальная стратегия будет включать механизм изменения доли ставки в зависимости от оставшегося времени и расстояния до цели. Рассмотрим пример предельного случая, когда n=1, а C=2. Если X0<1, то никакая стратегия не сработает и вероятность успеха равна 0. Но, если 1 ≤ X0 ≤ 2, нужно делать ставку по крайней мере 2 - X0, таким образом любую долю f ≥ (2 — X0)/X0, для вероятности успеха p. В другом предельном случае: n=10, С= 210 =1024, X0=1. Здесь единственная стратегия, которая может преуспеть, состоит в том, чтобы делать ставку f=1 в каждой попытке. Вероятность успеха равна p10 для этой стратегии и 0 для всех других (если p <; 1), включая Келли.
|
