Б) Реальный (почти) мир.

Полагаем, что цены изменяются «непрерывно» (отсутствуют «скачки»), что портфели могут пересматриваться «непрерывно», и что отсутствуют транзакционные издержки (рыночные потрясения, комиссии, «накладные расходы») и налоги (федеральные, муниципальные и т.п.). Тогда применима наша предыдущая модель.

Пример 7.2. Возьмем индекс S&P 500. Используя исторические данные мы делаем грубые оценки: m=0,11; s=0,15; r=0,06. Требующиеся нам уравнения для случая r¹0, являются обобщением (7.6) при r¹0 и f=с f ^*, которые следуют из (7.3):

Если мы примем , тогда замена переменных в уравнениях (7.7) дают уравнения (7.6), демонстрируя связь между двумя наборами уравнений. Это также показывает, что пример и выводы о P(V_n>V₀) в случае r= 0 эквивалентны аналогичным заключениям о P(ln(V(t)/V₀>rt) в случае r¹0. Следовательно, мы можем сравнивать различные стратегии с вариантами инвестирования, основанных на начислении сложных процентов и безрисковой ставке r, такими как вложения в безкупонные U. S. Treasury Bonds.

Из уравнений (7.7) для с=1 мы находим

 

То есть при f ^*=2,22 по истечение 8,32 лет вероятность того, что V_n>V и ожидаемое значение log(V_n/V₀) =0,96 составит 84%, а медианное значение V_n/V₀ будет равно примерно e^0,96=2,61.

Для обычного безрычагового варианта при f=1 и с=0,45 мы получаем

Мы видим, что h(c) растет с увеличением с, по крайней мере до точки с=2, соответствующей 2f ^*.

Запись t(k, cf ^*) =t(c) в виде

показывает, что t(c) такжерастет с увеличением с по крайней мере до точки с=2.

Таким образом, для меньшего (более консервативный подход) значения f= сf ^*, с£ 2, заданные уровни вероятности P(V_n>V₀) достигаются раньше. При с<1 это сопровождается уменьшением коэффициента роста, относительно небольшим для значений f близкихк f ^*.

Замечание: За период 1975-1997 годов совокупная ежегодная доходность краткосрочных казначейских векселей (значение которой соответствует ставке r, если инвестор производит ссудные операции, то есть f<1) изменялась от низкой 2,90%(1993) до высокой 14,71% (1981). Для получения детальной информации см. ежегодный сборник Ibbotson Associates 1998 (или последний доступный) Yearbook.

Крупный инвестор с хорошими связями мог бы заимствовать у брокера при запросе плюс около 1%, что приблизительно соответствовало бы казначейским векселям плюс 1%.

Это могло бы быть целесообразной оценкой для инвестора, который делает заимствования (f>1). Для других ставки вероятно будут выше. К примеру, базисная ставка за 1975-1997 гг. менялась от низкой 6% (1993) до высокой 19% (1981), по данным Associates First Capital Corporation (1998).

Так как r колеблется, мы ожидаем, что m имеет тенденцию к инверсным по отношению к r колебаниям (высокий процентные ставки вызывают снижение цен на фондовых рынках по хорошо известным причинам). В соответствии с этим f ^* и g_∞ будут также колебаться, поэтому в долгосрочном периоде инвестор индексного фонда S&P нуждается в процедуре периодической переоценки и изменения f ^*_, а также желаемого им уровня ливереджа или наличности.

Для иллюстрации влияния условия r_b>r, где r_b – это ставка по заемным средствам инвестора, предположим, что r_b в примере (7.2) имеет значение r+2% или 0,08, этот выбор основан на приведенных выше исторических значениях r, которые являются промежуточными между «хорошим» r_b =r+1% и «плохим» r_b =базисная ставка = r+3%. Мы заменяем r на r_b в уравнениях (7.7),и, f ^*>1; f ^*=1,33; g_∞(f ^*)= 0,100; Sdev(G_∞(f^*))=0,20; tg_∞(f ^*)=0,4k²; t=4k² лет. Заметьте насколько сильно уменьшилось f^*.

Комментарий: Налоги.

Предположим для простоты, что все прибыли облагаются налогом с постоянной ставкой T, а все убытки имеют налоговые льготы (возврат налога) с такой же постоянной ставкой T. Рассматривая сущность этих налогов совместно, представим их как партнера, владеющего частью Т всех прибылей и убытков. Тогда уравнения (7.7) переходят к виду:

Интересно увидеть, что cf ^* увеличилось на коэффициент 1/(1-Т). Для жителя Калифорнии с большими доходами предельная совокупная ставка федеральных и местных налогов составляет 45%, следовательно коэффициент равен 1/0,55= 1,82. Увеличение cf ^* приводит к тому же самому значению коэффициента роста, что и до ожидаемого изменения из-за влияния rT. Величина Sdev осталась неизменной, а t(k, cf ^*) незначительно увеличилась. Однако, как показывает практика, использование более высокого значения кредитного плеча, необходимого в условиях высокой ставки налога, обычно неприемлемо из-за условий маржинальных операций, или нецелесообразно из-за невозможности непрерывного регулирования, и в реальных условиях создаёт опасности, степень которых быстро растет с ростом коэффициента ливереджа.