А) Непрерывная аппроксимация.

Это один из методов, который быстро приводит к примечательным результатам. Пусть X – случайная переменная с вероятностями P(X=m+s)=P(X=m-s)=0,5. Тогда E(X)=m, Var(X)=s². При начальном капитале V₀ , оптимальной доли по ставке f и доходом на единицу X результатом будет

где r – ставка дохода на неиспользованный капитал, инвестированный, скажем, в казначейские векселя. Тогда

Теперь, разделяя временной интервал на n равных независимых шагов, сохраняя то же смещение и ту же общую дисперсию. Таким образом, m, s² и r заменяются на m/n, s²/n и r/n соответственно. У нас есть n независимых X_i, i=1,..,n с вероятностями

Тогда

Преобразование обоих частей к виду E(log(×)) даёт g(f). Разложение результата в степенной ряд приводит к

где 0(n ^-1/2 ) имеет свойство ограниченности числом n^1/2 (n ^-1/2 ) при n® ∞;. устремляя n® ∞ в (7.1) имеем

Предел V≡V_∞(f) функции V_n(f) при n® ∞ соответствует логнормально распределенному процессу, который является хорошо известной моделью цен ценных бумаг. «Ценная бумага» здесь имеет мгновенную смещение m, дисперсию s², также безрисковые инвестиции с «наличным» денежными доходами по мгновенной ставке r.

Тогда g_∞(f) в (7.2) – коэффициент роста капитала (мгновенный)по инвестициям или при использовании системы ставок долей f. Нет ничего особенного в нашем выборе случайной переменной X. Любая ограниченная случайная переменная с матожиданием E(X) = m и дисперсией Var(X) = s² приведет к тому же результату. Заметим, что на f больше не накладывается ограничение «быть меньше или равно 1». Обычная проблема неопределенности log(×) для отрицательных аргументов пропала. При f<0 также не возникает затруднений. Это просто соответствует короткой продаже бумаги. Если m < r, то это будет полезно. Отметим также, что инвестор следующий стратегии оптимального f должен теперь регулировать его инвестиции «мгновенно». На практике это означает изменения крошечными приращениями всякий раз, когда появляется небольшое изменение V. Эта идеализация появилась в теории ценообразования опционов. Она широко известна и не мешает практическому применению теории (Black and Scholes, 1973). Наша предыдущая функция роста для ставок с фиксированным шагом была близка к параболической в окрестности f ^*, и часто в диапазоне 0 ≤ f ≤ 2 f ^*, где также нередко 2 f ^* = f_c. Теперь при использовании ограниченного случая (7.2), g_∞(f) является точной параболой, лёгкой для изучения.

Логнормальность V(f)/V₀ означает, что log(V(f)/V₀) – нормально распределена, N(M,S²), с матожиданием M = g_∞(f)t и дисперсией S² = Var(G_∞(f))t для любых t. Из этого мы можем определить, например, ожидаемый рост капитала и время t_k, необходимое для того, чтобы V(f) стала по крайней мере на k стандартных отклонений больше V₀.

Во первых, с помощью предыдущих методов мы можем показать, что Var(G_∞(f))= s² f ², отсюда Sdev(G_∞(f))=s f. Решение t_kg_∞ = kt^1/2Sdev(G_∞(f)) даёт t_kg²_∞, следовательно ожидаемый рост капитала t_kg_∞, откуда мы ищем t_k. Результаты представлены в уравнениях (7.3).

Изучение выражений для t_kg_∞(f) и t_k показывает, что каждое из них увеличивается при увеличении f для 0 ≤ f ≤ f₊ , где f₊ - положительный корень уравнения s² f ²/2 – (m-r)f – r =0 и f₊>2f ^*.

Комментарий: Модель оценки доходности финансовых активов (САРМ) утверждает, что рыночный портфель лежит на эффективной границе Марковица E на плоскости (s,m) в единственной (как правило) точке P=(s₀, m₀), такой, что линия проведенная через P и точку (s=0, m=r) является касательной к E ( в точке P). Наклон этой прямой – коэффициент Шарпа S = (m₀-r₀)/s₀, а из (7.3) g_∞(f ^*)= S²/2+r, таким образом максимальный уровень роста g_∞(f ^*) для фиксированной r зависит только от коэффициента Шарпа (см. Quaife (1995)). Из (7.3) снова получаем f ^*=1, когда m=r+s², и в этом случае инвестор, использующий критерий Кэлли, будет выбирать рыночный портфель сформированный без заимствований и кредитования. Если m>r+s² инвестор будет использовать кредитный рычаг, а если m<r+s², то он будет инвестировать часть средств в казначейские векселя и часть в рыночный портфель. То есть инвестор будет динамически перераспределять средства каждый раз при изменении f ^* из-за колебаний и в прогнозе величин m, r и s² ицен бумаг, находящихся в составе портфеля.

Из (7.3) получаем g_∞(1)=m- s²/2, следовательно, все портфели на плоскости (s,m), удовлетворяющие условию m- s²/2=С, где С- константа, имеют одинаковый уровень роста. При использовании непрерывной аппроксимации функцией полезности для Кэлли-инвестора выступает U(s,m)=m-s²/2. Таким образом, для любого (закрытого, ограниченного) набора портфелей лучшими из этого подмножества являются те, которые максимизируют одно параметрическое семейство m- s²/2=С. Смотрите Kritzman in Bernstein and Damodaran editors (1998), Chapter 2 для элементарного введения по связанными с этими идеями.

Пример 7.1. Пересмотр портфеля в долгосрочном периоде. Возьмём r=0 для этого примера. Тогда основные уравнения (7.3) упрощаются до

Сколько времени может занять достижение V(f ^*)≥V₀ с определенной вероятностью? Что насчет V(f ^*/2)? Чтобы найти время t необходимое для того, чтобы V(f)≥V₀ с уровнем значимости в k стандартных отклонений (k=1, P=84%; k=2, P=98% и т.д.)мы решаем для t ≡ t_k:

Мы получим лучшее понимание, если нормализуем все f к f ^*. Переобозначая везде f= с f ^* мы находим для r = 0

Уравнения (7.6) содержат интересный результат:условие V(f)≥V₀ с уровнем значимости в k стандартных отклонений происходит, когда ожидаемый рост капитала равен tg_∞=k²c/(1-c/2), и этот результат не зависит от m и s. Для f= f ^* (c=1 в (7.6)) это справедливо при k=1 и tg_∞=2, которымсоответствует V=V₀e², а также при k=2 и tg_∞=8 соответствующие V=V₀e⁸. Тогда e⁸=2981, и при 10%-ой ставке ежегодного (мгновенного) роста потребуется 80 лет для того, чтобы с 98% -ой вероятностью выполнилось V ≥ V₀.

При 20% ставке ежегодного мгновенного роста это займет 40 лет. Однако, при f=f^*/2 значениями для k=1 и 2 будут tg_∞=2/3 и 8/3 соответственно, просто 1/3 от предыдущих. Таким образом, времена ожидания того, что значение Prob(V ≥ V₀) превысит 84% и 98% становятся 6,7 и 26,7 лет соответственно, а ожидаемый коэффициенте роста снизился в ¾ раза по сравнению с уровнем для f ^*.

Комментарий: Использование дробного критерия Кэлли против обычного в случае r=0.

Из уравнений (7.6) мы видим, что g_∞(cf ^*)/ g_∞(f ^*)=c(2-c), 0£ c<∞, показывающее, как коэффициент роста связан с максимальными изменениями c. Относительный риск Sdev(G_∞(cf ^*))/ Sdev(G_∞(f ^*))=c и относительное время для достижения равного ожидаемого общего роста равно 1/c(2-c), 0<c<2. Таким образом, относительный «спрэд» для одинакового ожидаемого общего роста равен 1/(2-c), 0 < c<2. Следовательно, даже выбирая c очень малым, спрэд около данного ожидаемого роста не может быть уменьшен с коэффициентом ½;. Соответствующие результаты не настолько просты, как в случае, когда r>0.