Для того чтобы проиллюстрировать как применение критерия Кэлли, так и объёмы рынков ценных бумаг, мы вернемся к изучению корреляционного эффекта в Примере 6.2. Будем рассматривать более симметричную и эстетически более приемлемую пару ставок U1 и U2, с объединенным распределением, данным в Таблице 7.1
ТАБЛИЦА 7.1 Объединенное распределение
U1 и
U2
Очевидно 0 £ a £ ½; и Cor(U1,U2) = Cor(U1,U2) =4a – 1 увеличивается от –1 до 1 при увеличении a от 0 до ½. Нахождение решения общего вида для (f1*, f2*) представляется алгебраически сложной задачей (но решения для конкретных случаев легко найти численно), вот почему мы выбрали для рассмотрения Пример 6.2. Даже при сведении задачи к специальному случаю m1=m2=m и использование симметрии для снижения проблемы нахождения f * = f1* = f2*, общее решение все ещё затруднено. Но рассматривая вариант, когда a=0 и, следовательно, Cor(U1,U2)=-1, получаем g(f) = ln(1+2mf), которая растет без ограничений при увеличении f. Эта пара ставок – “бесспорный факт” и в этом случае следует ставить как можно больше.
Это упрощенная версия классического арбитража на рынке ЦБ: найти пару ценных бумаг, которые идентичны или “эквивалентны” и торговать по расходящимся ценам. Покупая относительно недооцененый инструмент, и вставая в позицию шорт по относительно переоцененному инструменту, и достигая значения корреляции –1, фиксируем безрисковую прибыль. Пример подобного действия произошёл в 1983 году. Инвестиционное партнерство под моим управлением купило “старых” акций АТ & Т на сумму $330 миллионов и продало в шорт выпущенных в то время “новых” акций компании АТ & Т с присоединенными к ней региональными телефонными компаниями “семи сестер”. Большая часть этого объема было проведено за одну торговую операцию, в результате чего это стало тогда крупнейшей в стоимостном выражении сделкой за всю историю NYSE (Нью-Йоркская фондовая биржа, 1 декабря 1983).
Применяя критерий Кэлли к рынку ЦБ мы столкнулись с новыми аналитическими задачами. По ставке в бумагу обычно можно получить много различных результатов, в отличие нескольких вариантов во многих играх. Это приводит к использованию непрерывной, а не дискретной функции распределения вероятностей. Нам нужно найти такое f, которое максимизирует g(f) = Eln(1+fX)= ∫ ln(1+fX)dP(x), где P(x) – вероятностная мера описывающая ожидаемый доход. Часто возникает проблема нахождения оптимального портфеля среди n бумаг, где n может быть «большим» числом. В этом случае x и f - n- мерные вектора, а fx – их скалярное произведение. У нас также есть ограничения – требование 1+fx>0 для того, чтобы ln(.) был определен, и условие ∑ fi =1 (или некоторые c>0) для нормализации к единице (или к c>0) инвестиций. Проблема максимизации может быть решена в общем виде, так как g(f) – вогнутая функция. Могут быть и другие ограничения, такие как требование fi ³ 0 для некоторых или всех i (отсутствие коротких продаж), или требования fi £ Mi либо fi ³ mi (пределы объёмов инвестирования в i -ую бумагу), или же условие ∑;½ fi ½ £ M (ограничивает общий размер кредитного рычага, чтобы это удовлетворяло маржинальным ограничениям или требованиям управления капитала). Заметим, что в некоторых случаях недостаточно наличия «хороших» ставок или инвестиций, чтобы применять стратегию с использованием полного f*, что вынуждает игрока делать уменьшенные ставки, уменьшая в некоторой степени общий уровень роста и риска. Это больше проблема мира азартных игр, чем значительных рынков ЦБ. Дополнительная информация по этим проблемам и техникам может быть найдена в литературе.
