Расстояние между точками

Рассмотрим точки A ₁ (x ₁; y ₁; z ₁) и A ₂ (x ₂; y ₂; z ₂) и найдем расстояние между этими точками.

Теорема 9.7.

Расстояние между точками A ₁ и A ₂ можно вычислить по формуле

Определение 9.14.

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, называется радиус-вектором данной точки.

Рассмотрим некоторую точку M в пространстве с координатами (x; y; z). Пусть M ₁, M ₂, M ₃ – точки пересечения с осями координат плоскостей, проходящих через точку M перпендикулярно к этим осям (чертеж 9.4.2). Тогда

По определению координаты точки M Значит, Совершенно аналогично Получается, что Тем самым доказана следующая

Теорема 9.8.

Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

Рассмотрим теперь две точки и По только что доказанному, Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Но длина вектора по определению равна длине отрезка а длина этого отрезка есть расстояние между точками и Значит,

Эта формула позволяет вычислять длину вектора, зная его координаты.

 

Рассмотрим два произвольных вектора: и

Определение 9.15.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.

Определение 9.16.

Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными. Угол между векторами будем обозначать так:

Определение 9.17.

Скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними:

Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

• Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
• Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.
• Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Перечислим основные свойства скалярного произведения, которые также доказываются аналогично планиметрическим.

Для любых векторов и и любого числа λ справедливы равенства:

1. причем
2. (переместительный закон).
3. (распределительный закон).
4. (сочетательный закон).