Уравнение плоскости

· Рассмотрим произвольную точку в пространстве и некоторый вектор Очевидно, что геометрическим местом точек таких, что вектор перпендикулярен вектору будет плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для которой вектор является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.

· Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения:

· Запишем последнее равенство в координатах:

· Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду

· Обозначая получим

· Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.

· Определение 9.19.

· Вектор называется нормальным вектором (или просто нормалью) для плоскости, заданной общим уравнением (1).

· Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из самого вывода уравнения плоскости.

· Рассмотрим плоскость 3 x + 2 y + z – 6 = 0. Пусть A – точка пересечения этой плоскости с осью Ox, то есть A (2; 0; 0). Точка B (0; 3; 0) – это точка пересечения данной плоскости с осью Oy, точка C (0; 0; 6) – с осью Oz (чертеж 9.7.1). Уравнение называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

· Эта плоскость пересекает оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c).

· Плоскость, изображенная на чертеже 9.7.1, имеет такое уравнение в отрезках на осях: