Определение правильного многогранника

Среди плоских многоугольников особое место занимают правильные многоугольники. Как известно, для любого натурального n на плоскости существует правильный n -угольник. Естественно задаться вопросом, имеет ли место подобный факт в пространстве? Существуют ли «правильные многогранники», и что это такое?

Еще в древней Греции были известны пять удивительных многогранников.

Рисунок 8.1.1.

Их изучали ученые, ювелиры, священники, архитекторы. Этим многогранникам даже приписывали магические свойства. Древнегреческий ученый и философ Платон (IV–V в до н. э.) считал, что эти тела олицетворяют сущность природы. В своем диалоге «Тимей» Платон говорит, что атом огня имеет вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба), воздуха – октаэдра, воды – икосаэдра. В этом соответствии не нашлось места только додекаэдру и Платон предположил существование еще одной, пятой сущности – эфира, атомы которого как раз и имеют форму додекаэдра. Ученики Платона продолжили его дело в изучении перечисленных тел. Поэтому эти многогранники называют платоновыми телами.

Определение 8.1.

Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны.

Оказывается, что существует всего пять видов правильных многогранников. Докажем это, а затем предъявим каждый из них, доказав тем самым их существование.

Лемма 8.1.

Рассмотрим многогранный угол с вершиной S, у которого равны все плоские и все двугранные углы. Выберем на его ребрах точки A ₁, A ₂, …, A_n так, что SA ₁ = SA ₂ = … = SA_n. Тогда точки A ₁, A ₂, …, A_n лежат в одной плоскости и являются вершинами правильного n -угольника.

Теорема 8.1.

Существует не более пяти различных видов правильных многогранников.

Заметим, что из этой теоремы не следует, что существует именно пять видов правильных многогранников. Теорема лишь утверждает, что таких видов не более пяти, а теперь нам осталось доказать, что этих видов действительно пять, предъявив все пять видов многогранников.

Призма

Дадим несколько определений.

Определение 4.7.

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой.

Грани призмы, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами. Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Поэтому в основаниях лежат равные многоугольники.

Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы. Высота призмы равна расстоянию H между плоскостями оснований.

Сечение призмы плоскостью, проведенной через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называется диагональным сечением призмы. На чертеже 4.5.1 показана четырехугольная призма ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁. Параллелограмм BDD ₁ B ₁ – диагональное сечение призмы. По числу сторон основания призма называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т.д.

Чертеж 4.5.1.

Прямой призмой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными.

Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Площадью боковой поверхности S _б призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадью полной поверхности S _п призмы называется сумма площадей всех ее граней. S _п = S _б + 2 S, где S – площадь основания призмы, S _б – площадь боковой поверхности.