Вписанные и описанные многогранники

Определение 5.11.

Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника.

Определение 5.12.

Выпуклый многогранник называется описанным, если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника.

При рассмотрении понятий вписанной и описанной сферы обнаруживается аналогия с понятием вписанной и описанной окружности. Однако, если в любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность, то не всякий многогранник является вписанным или описанным. Несмотря на это, оказывается, что пространственный аналог треугольника – треугольная пирамида, тем не менее, всегда имеет единственную вписанную и описанную сферу. Докажем это.

Теорема 5.6. Теорема об описанной сфере треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида имеет единственную описанную сферу.

Теорема 5.7. Теорема о вписанной сфере треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида имеет единственную вписанную сферу.

Теорема 5.8.

Для того, чтобы пирамида была вписанной в сферу, необходимо и достаточно, чтобы ее основанием был вписанный в окружность многоугольник.