Цилиндр

Определение 5.1.

Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны.

Чертеж 5.1.1.

Далее будем называть это тело цилиндром. На чертеже 5.1.1 показан цилиндр, образованный при вращении прямоугольника AOO ₁ A ₁ вокруг стороны OO ₁, которая называется осью вращения (осью цилиндра) и является высотой цилиндра. Основания цилиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостях. Высотой цилиндра называют также расстояние между плоскостями его оснований. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований, называется образующей цилиндра (это, например, отрезки A ₁ A, M ₁ M, B ₁ B, N ₁ N). Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось вращения. Все осевые сечения цилиндра – равные прямоугольники (это, например, прямоугольники ABB ₁ A ₁ и MNN ₁ M ₁).

Плоскость, содержащая образующую и перпендикулярная осевому сечению, проходящему через эту образующую, называется касательной к цилиндру плоскостью. Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра. На рисунке 5.1.1 показана развертка цилиндра. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами H и C, где H – высота цилиндра, а C – длина окружности основания.

Приведем формулы для вычисления площадей боковой S _б и полной S _п поверхностей: S _б = H · C = 2π RH, S _п = S _б + 2 S = 2π R (R + H).

Конус

Определение 5.2.

Прямым круговым конусом называется тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.

Чертеж 5.2.1.

Далее прямой круговой конус будем называть просто конусом. На чертеже 5.2.1 показан конус, образованный в следствии вращения прямоугольного треугольника POA вокруг катета PO, называемого осью конуса, P называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA называется основанием конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с какой-нибудь точкой окружности основания, называется образующей конуса. На чертеже 5.2.1 отрезки PA, PB, PM, PN – образующие конуса. Радиус основания конуса называется радиусом конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание. Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его высоту. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проходящему через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. При вращении образующей PA вокруг оси PO образуется боковая (коническая) поверхность конуса.

Разверткой боковой поверхности конуса (рис. 5.2.1) является круговой сектор. Обозначим через S _б и S _п соответственно площади боковой и полной поверхности конуса: где φ – угол при вершине развертки. Далее заметим, что PA · φ = 2π R. Следовательно, где R – радиус, а l – образующая конуса.

S п = π Rl + π R 2 = π R (l + R).

Определение 5.3.

Усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости основания.

Чертеж 5.2.2.

Образующая и высота усеченного конуса являются частями образующей и высоты полного конуса.

Боковая поверхность усеченного конуса может быть найдена по формуле S _б = π(R + r) l, где R и r – радиусы оснований, l – образующая конуса.

Полная поверхность находится по формуле

S п = π(Rl + rl + R 2 + r 2).

Сфера

Определение 5.5.

Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O, называется сферой.

Рисунок 5.4.1.

Сферу обозначают так: ω (O, R). Можно определить сферу и как тело, образованное при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Определение 5.6.

Множество всех точек пространства, удаленных от данной точки O на расстояние, не большее R, называется шаром.

Иными словами шар – это объединение сферы и всех ее внутренних точек.

Можно также определить шар и как тело, образованное при вращении круга вокруг своего диаметра.

Шар обозначают так же, как сферу: ω (O, R). Точка O называется центром сферы (шара). Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы (шара). Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, называется хордой сферы (шара). Иногда под радиусом или хордой подразумевают их длину. Хорда, проходящая через центр сферы, называется ее диаметром.

При пересечении сферы плоскостью наибольшая окружность образуется, если плоскость проходит через центр сферы. Линия пересечения называется большой окружностью сферы. Соответствующее сечение шара называется большим кругом шара.

Теорема 5.1. Теорема о кратчайшем пути на сфере.

Кратчайшим путем на сфере, соединяющим две ее точки A и B, является меньшая из двух дуг AB большой окружности, проходящей через A и B.