Экономико-математическая модель транспортной задачи

Примечание. А_i – название пункта отправления; В_j – название пункта назначения; a_i – производственная мощность поставщиков; b_j – спрос потребителей; m – число поставщиков; n – число потребителей; i – номер строки (i-й поставщик) i = 1…m; j – номер столбца (j-й потребитель) j = 1…n; c_ij – показатель критерия оптимальности, удельные затраты на транспортировку единицы продукции (себестоимость перевозок) от поставщика i до потребителя j; x_ij – количество продукции, перевозимое от поставщика i до потребителя j, план перевозок, распределение поставок, корреспонденция грузов.

Условия задачи в принятых обозначениях следующие.

1. Каждый поставщик должен дать ровно столько продукции, столько у него есть, т. е. сумма поставок по каждой строке должна будет равна мощности a_i этой строки:

 

. (2.1)

 

2. Каждый потребитель должен получить ровно столько продукции, сколько ему требуется, т. е. сумма поставок по каждому столбцу должна будет равна спросу b_i этого столбца:

 

. (2.2)

 

3. Из вышеприведённых условий (2.1) и (2.2) следует:

 

. (2.3)

В случае если , то транспортная задача линейного программирования называется открытой. Если , то это несбалансированная задача с дефицитом. Если , то это несбалансированная задача с избытком.

Чтобы определить суммарные затраты на перевозки, достаточно просуммировать произведения объёмов каждой поставки на соответствующие им удельные затраты на транспортировку. План будет оптимальным, если эта сумма (целевая функция F) будет сведена к минимуму:

 

. (2.4)

 

Транспортная задача является закрытой, если соблюдается условие (2.3). Если данное условие не соблюдается, то для приведения открытой транспортной задачи к закрытому виду вводится фиктивный потребитель ФВ или фиктивный поставщик ФА. Разница между производственной мощностью и спросом относится на его счёт. Расходы по доставке груза до фиктивного потребителя или фиктивного поставщика равны нулю, так как груз фактически не перевозится.

2.2. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов

Метод потенциалов относится к группе методов последовательного приближения. Вначале отыскивается исходный допустимый план перевозок, который, как плавило, не является оптимальным, а затем по определенной итеративной процедуре этот план доводится до оптимального варианта.

Для описания алгоритма используем формульно-словесный способ. Рассмотрим пример транспортной задачи (табл. 2.2).

Таблица 2.2