Частная и множественная корреляция

Частная и множественная корреляция обычно рассматриваются при изучении совокупности многомерных измерений. Рассмотрим её кратко на промере трёхмерного пространства.

Пусть имеем три переменные – x, y, z.

Частным коэффициентом корреляции между x и y при фиксированном значении z или, другими словами, при исключении влияния на них переменной z является величина, определяемая из выражения:

= .

Остальные частные коэффициенты корреляции определяются путём замены в приведённой формуле соответствующих индексов.

Частные коэффициенты корреляции можно рассчитать, рассматривая корреляцию не непосредственно между переменными, а между отклонениями, в которых влияние других переменных исключено.

Для трёх переменных это выглядит следующим образом. Пусть х и у корреляционно зависят от z. Выразим эту зависимость в виде: = f₁(z), = f₂(z). Рассмотрим разности е_х = (x - ) и е_у = (y - ). Ясно, что в них влияние переменной z исключено, поэтому коэффициент корреляции между остатками е_х и е_у будет отражать связь между исходными переменными х и у с исключением влияния переменной z. Таким образом = .

Частные коэффициенты корреляции обладают всеми свойствами парных коэффициентов корреляции. Они служат показателями чистой линейной корреляционной связи между переменными с исключением влияния учтённых переменных.

Частная корреляция очищает взаимосвязи между переменными от опосредованных зависимостей и помогает обнаружить величины, которые усиливают или ослабляют связи между конкретными переменными.

В развитие дальнейшего рассмотрения корреляции распространим понятие корреляционной связи на более чем две переменные. Тесноту линейной корреляционной связи между одной переменной и несколькими другими измеряют с помощью коэффициента множественного корреляции. Множественный коэффициент корреляции, например, между величиной z и двумя величинами x и y определяется по формуле

.

Такой коэффициент заключён между нулём и единицей и равен единице, когда связь между величинами z и (x,y) является линейной функциональной, и равен нулю, если линейная связь между z и (x,y) отсутствует. Другие множественные коэффициенты корреляции определяются путём замены соответствующих индексов в приведённой формуле.

Коэффициент множественный корреляции можно определить, рассчитав коэффициент корреляции между z и , где = f(x,y) –модельные значения z, вычисленные по уравнению регрессии от х и у. Таким образом = .

Понятия частного и множественного коэффициентов корреляции можно распространить на случай более 3 переменных. Вычисляются они на основе матрицы парных коэффициентов корреляции.

Так, коэффициент частной корреляции между переменными x _i и x _j при фиксированных значениях всех остальных рассматриваемых переменных X^(i,j) рассчитывается из соотношения

r_i,j.X^(i,j) = –R_i,j / (R_iiR_jj)^1/2,

а коэффициент множественной корреляции между переменной x _i и всеми другими переменными X⁽ⁱ⁾, т. е. коэффициент R_i.X⁽ⁱ⁾ рассчитывается из соотношения

R_{i. X} ⁽ⁱ⁾ = .

Здесь R_kl – алгебраическое дополнение для элемента r_kl в определителе корреляционной матрицы R анализируемых признаков, а det R – определитель этой матрицы.

При определении значимости частных коэффициентов корреляции пользуются теми же методами, что и для парных коэффициентов корреляции, уменьшая число степеней свободы на число исключаемых переменных, а для множественных коэффициентов корреляции используется F-статистика:

F = ,

где m – число анализируемых переменных.

При верности гипотезы о равенстве нулю коэффициента множественной корреляции F-статистика следует распределению Фишера с числом степеней свободы числителя, равным m, и знаменателя, равным n – m – 1.

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется коэффициентом множественной детерминации. Коэффициент множественной детерминации показывает долю вариации одной переменной, обусловленную изменением других, включенных в анализ, переменных.