Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Показатели точности уравнения регрессии и оценок его параметров





При анализе уравнения регрессии сначала проверяется значимость уравнения регрессии в целом. Для решения этой задачи используется процедура дисперсионного анализа, основанная на разложении общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной (SST – Sum. Squared total) на две составляющие: одна из которых – за счёт регрессионной зависимости (SSM – Sum. Squared model), другая – за счёт остаточного члена (SSR – Sum. Squared residual):

SST = SSM + SSR

или

Следует иметь в виду, что это соотношение верно, если в уравнении регрессии присутствует константа. Разделив суммы квадратов отклонений на соответствующие числа степеней свободы, получим суммы квадратов на одну степень свободы или средние квадраты, которые являются оценками дисперсии зависимой переменной y или остатков в условиях разных предпосылок. Одна из этих оценок (MSM = SSM/m) рассчитывается в предположении, что все коэффициенты в модели регрессии равны нулю (Ho: = =…= =0), а другая (MSR = SSR/(n–m–1)) – в предположении, что не все коэффициенты регрессии равны нулю. Затем эти оценки сравниваются по F-статистике (F = ), которая в случае выполнимости предпосылок МНК и верности нулевой гипотезы имеет распределение Фишера с числом степеней свободы числителя, равным m и знаменателя – (n – m – 1). Расчётное значение F-статистики сравнивается с критическим и если F , то нулевая гипотеза отклоняется, и уравнение регрессии признаётся значимым.

Вернёмся ещё раз к MSR. Этот показатель является одной из характеристик точности уравнения регрессии. Его называют остаточной дисперсией и обозначают S . Можно показать, что MSR является несмещённой оценкой дисперсии .

MSR также используется при вычислении других показателей точности уравнения регрессии. Например, корень квадратный из MSR называется стандартной ошибкой оценки по регрессии(Sy,x) и показывает, какую ошибку в среднем мы будем допускать, если значение зависимой переменной будем оценивать по найденному уравнению регрессии при известных значениях независимых переменных. Имеем

Sy,x =

Кроме того, этот показатель в неявном виде участвует в определении ещё одного показателя точности уравнения множественной регрессии, а именно – коэффициента множественной детерминации (Rsquared или R2). Как известно,

или после преобразований (в случае, если в уравнении регрессии присутствует константа)

Отсюда следует, что коэффициент множественной детерминации показывает долю вариации зависимой переменной, обусловленную вариацией включённых в уравнение регрессии независимых переменных, или, иными словами, долю вариации зависимой переменной, обусловленную регрессионной зависимостью.

Коэффициент множественной детерминации изменяется от нуля до единицы и равен единице, если SSR = 0, (связь линейная, функциональная), и равен нулю, если SST = SSR, (линейная связь отсутствует).

Из определения коэффициента множественной детерминации следует, что он будет увеличиваться при добавлении в уравнение регрессии независимых переменных, как бы слабо не были они связаны с независимой переменной. Следуя этой логике, в уравнение регрессии для увеличения точности отражения изучаемой зависимости может быть включено неоправданно много независимых переменных. Точность уравнения при этом может увеличиться незначительно, а размерность модели возрасти так, что её анализ будет затруднён. Кроме того, при этом уменьшается число степеней свободы модели и ухудшается точность оценок. Для преодоления этого недостатка был разработан исправленный (на число степеней свободы) коэффициент (Adjusted R-squared), имеющий вид

или после преобразования

.

В отличие от , будет убывать, если в уравнение регрессии будут добавляться незначимые независимые переменные (с t-статистикой < 1).

Исправленный коэффициент позволяет избежать переоценки независимой переменной при включении её в уравнение регрессии. Если добавление переменной приводит к увеличению , то включение её в уравнение регрессии оправданно, в противном случае – нет.

Продолжим анализ точности уравнения регрессии. Как уже отмечалось, при проверке значимости уравнения регрессии проверяется гипотеза о том, что все коэффициенты модели регрессии равны нулю. Если нулевая гипотеза отклоняется, то это означает, что не все коэффициенты в модели регрессии равны нулю, и тогда встаёт вопрос о проверке значимости каждого параметра регрессии в отдельности.

Такая проверка осуществляется на основе t-статистик, определяемых из соотношений

, k = 0,1,2,…,m,

где – выборочные стандартные ошибки соответствующих оценок.

Как известно,

= MSR [(XTX)-1] kk , (k = 0,1,…,m). (2.5)

Здесь [(XTX)-1]kk соответствующие диагональные элементы матрицы (XTX)-1 .

При компьютерных расчётах вместе с t-статистикой (t-Statistic) для каждой оценки параметров уравнения регрессии вычисляется выборочный уровень значимости или Prob – это вероятность того, что вычисленное значение t-статистики не превосходит критического значения. По его значению и определяется значимость каждой оценки параметров уравнения регрессии.

 







Дата добавления: 2015-09-15; просмотров: 726. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны Уравнением упругой волны называют функцию , которая определяет смещение любой частицы среды с координатами относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t...

Медицинская документация родильного дома Учетные формы родильного дома № 111/у Индивидуальная карта беременной и родильницы № 113/у Обменная карта родильного дома...

Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Классификация и основные элементы конструкций теплового оборудования Многообразие способов тепловой обработки продуктов предопределяет широкую номенклатуру тепловых аппаратов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия