Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

По графу состояний




 

Вероятность нахождения восстанавливаемой системы в i-м состоянии в момент времени t может быть определена как отношение:

Pi(z) = Δi(z)/Δ(z), (5.6)

где Δ(z) – главный определитель системы дифференциальных уравнений, записанной в преобразовании Лапласа; Δi(z) – частный определитель системы.

Определители записывают в виде полиномов, в которых коэффициенты при переменной зависят от графа состояний и интенсивностей переходов. Степень полинома главного определителя системы равна числу узлов графа состояний, а частного определителя зависит от номера текущего состояния и начального состояния системы.

Финальная вероятность нахождения системы в i-м состоянии определяется соотношением

, (5.7)

где An-1, Bmi – свободные члены полиномов главного и частного определителей системы.

Вероятность попадания системы в i-е состояние в течение времени t аналогична формуле (5.6), но коэффициенты полинома главного определителя теперь уже зависят от начального и i-го состояний, а финальная вероятность равна единице (за время, стремящееся к бесконечности (t→∞; z→0), система обязательно попадет в i-е состояние).

Рассмотрим последовательность определения вероятностей нахождения в каждом из состояний на примере простой системы с восстановлением отказавших элементов (рис. 5.3). Граф состояний показан на рис. 5.4.

Неработоспособные состояния показаны на рис. 5.4 затемненными кружками: 100, 001, 110 и 010. Эти состояния являются для данной системы конечными. Переходы из состояния в состояние приведены в табл. 5.2.

 

Таблица 5.2

Таблица переходов состояний системы по рис. 5.3

Состояния (вершины графа по рис. 6.4) Интенсивность переходов из данного состояния в другие Реализуемые состояния системы Суммарная интенсивность выхода из состояния
111 (0) а01 = а02 = а06 = λ 111 (0) – исходное состояние, отказов нет а01 + а02 = 3λ
101 (1) а10 = μ, а14 = а13 = λ
011 (2) а20 = μ, а23 = а27 = λ 101, 011 (1) – отказ одного из двух дублированных элементов 1 или 2 а10 + а13 = 2λ + μ
001 (3) а01 = λ
100 (4) а41 = μ 110 (2) – отказ недублированного элемента 3 а20 = μ
001 (5) а51 = μ
110 (6) а60 = μ 001 (3) – отказ одного из оставшихся дублированных элементов 1 или 2 а31 = 2μ
010 (7) а72 = μ

Приведенный на рис. 5.4 граф несколько формален, так как не учитывает ограничений, связанных с особенностями функционирования конкретной системы. В то же время, свойства системы, отражающие особенности ее функционирования (прерывания, переключения, аварийные отключения, ремонты и пр.), степень резервирования и возможности восстановления отказавших элементов, а также система обслуживания при эксплуатации (схема, алгоритм, приоритеты, ресурсы) влияют на число реализуемых на практике (реалистичных) переходных и конечных состояний.

Если учесть конкретные особенности функционирования системы на рис. 5.3 (система обслуживается двумя бригадами (возможно одновременное восстановление двух отказавших элементов), и в ней не рассматриваются переходы через состояния, приводящие к отказам элемента без дублирования (элемент 3)), то в этом случае граф состояний системы упрощается, а число рассматриваемых состояний уменьшается до четырех (см. табл. 5.2).

Для вычисления вероятностей нахождения системы в любом из состояний в конкретный момент времени (соотношение (5.6)) необходимо найти ее главный и частные определители. В рассматриваемом примере главный определитель системы в преобразовании Лапласа может быть представлен в виде полинома третьей степени Δ(s) = s(A0s3 + A1s2 + A2s + A3).

Частный определитель также представляется в виде полинома, степень которого находится из выражения mi = n – 1 – li, где n – число состояний системы, li – число переходов в i-е состояние из начального по кратчайшему пути. В общем виде частный определитель Δi(s) = B0ismi + B1ismi-1 + ... + Bmi).

Коэффициенты полиномов определяют из интенсивностей переходов по правилам, которые мы здесь не рассматриваем (см. [7]). Опуская вычисления, приведем соотношения определителей анализируемой в примере системы:

Δ(s) = s[s3 + (5λ + 4μ)s2 + (6λ2 + 11λμ + 2)s + (2μ3 + 6λμ2 ++4λ2μ);

Δ0(s) = s3 + (2λ + 4μ)s2 + (2λμ + 5μ2)s + 2μ3;

Δ1(s) = s2 + 6λμs + 4λμ2;

Δ2(s) = λs2 + (2λ2 + 3λμ)s + 2λμ2;

Δ3(s) = 2s + 2μ.

Искомые вероятности находят как отношения соответствующих определителей к главному определителю системы.

 


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой





Дата добавления: 2015-08-31; просмотров: 581. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.027 сек.) русская версия | украинская версия
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7