По графу состояний

 

Вероятность нахождения восстанавливаемой системы в i- м состоянии в момент времени t может быть определена как отношение:

P_i (z) = Δ _i (z) / Δ(z), (5.6)

где Δ(z) – главный определитель системы дифференциальных уравнений, записанной в преобразовании Лапласа; Δ _i (z) – частный определитель системы.

Определители записывают в виде полиномов, в которых коэффициенты при переменной зависят от графа состояний и интенсивностей переходов. Степень полинома главного определителя системы равна числу узлов графа состояний, а частного определителя зависит от номера текущего состояния и начального состояния системы.

Финальная вероятность нахождения системы в i- м состоянии определяется соотношением

, (5.7)

где A_{n- 1}, B_mi – свободные члены полиномов главного и частного определителей системы.

Вероятность попадания системы в i- е состояние в течение времени t аналогична формуле (5.6), но коэффициенты полинома главного определителя теперь уже зависят от начального и i- го состояний, а финальная вероятность равна единице (за время, стремящееся к бесконечности (t→;∞; z→;0), система обязательно попадет в i- е состояние).

Рассмотрим последовательность определения вероятностей нахождения в каждом из состояний на примере простой системы с восстановлением отказавших элементов (рис. 5.3). Граф состояний показан на рис. 5.4.

Неработоспособные состояния показаны на рис. 5.4 затемненными кружками: 100, 001, 110 и 010. Эти состояния являются для данной системы конечными. Переходы из состояния в состояние приведены в табл. 5.2.

 

Таблица 5.2

Таблица переходов состояний системы по рис. 5.3

Состояния (вершины графа по рис. 6.4)	Интенсивность переходов из данного состояния в другие	Реализуемые состояния системы	Суммарная интенсивность выхода из состояния
111 (0)	а 01 = а 02 = а 06 = λ	111 (0) – исходное состояние, отказов нет	а 01 + а 02 = 3λ
101 (1)	а 10 = μ, а 14 = а 13 = λ
011 (2)	а 20 = μ, а 23 = а 27 = λ	101, 011 (1) – отказ одного из двух дублированных элементов 1 или 2	а 10 + а 13 = 2λ + μ
001 (3)	а 01 = λ
100 (4)	а 41 = μ	110 (2) – отказ недублированного элемента 3	а 20 = μ
001 (5)	а 51 = μ
110 (6)	а 60 = μ	001 (3) – отказ одного из оставшихся дублированных элементов 1 или 2	а 31 = 2μ
010 (7)	а 72 = μ

Приведенный на рис. 5.4 граф несколько формален, так как не учитывает ограничений, связанных с особенностями функционирования конкретной системы. В то же время, свойства системы, отражающие особенности ее функционирования (прерывания, переключения, аварийные отключения, ремонты и пр.), степень резервирования и возможности восстановления отказавших элементов, а также система обслуживания при эксплуатации (схема, алгоритм, приоритеты, ресурсы) влияют на число реализуемых на практике (реалистичных) переходных и конечных состояний.

Если учесть конкретные особенности функционирования системы на рис. 5.3 (система обслуживается двумя бригадами (возможно одновременное восстановление двух отказавших элементов), и в ней не рассматриваются переходы через состояния, приводящие к отказам элемента без дублирования (элемент 3)), то в этом случае граф состояний системы упрощается, а число рассматриваемых состояний уменьшается до четырех (см. табл. 5.2).

Для вычисления вероятностей нахождения системы в любом из состояний в конкретный момент времени (соотношение (5.6)) необходимо найти ее главный и частные определители. В рассматриваемом примере главный определитель системы в преобразовании Лапласа может быть представлен в виде полинома третьей степени Δ(s) = s (A ₀ s ³ + A ₁ s ² + A ₂ s + A ₃).

Частный определитель также представляется в виде полинома, степень которого находится из выражения m_i = n – 1 – l_i, где n – число состояний системы, l_i – число переходов в i -е состояние из начального по кратчайшему пути. В общем виде частный определитель Δ _i (s) = B _{0 i} s^mi + B _{1 i} s^{mi- 1} +... + B_mi).

Коэффициенты полиномов определяют из интенсивностей переходов по правилам, которые мы здесь не рассматриваем (см. [7]). Опуская вычисления, приведем соотношения определителей анализируемой в примере системы:

Δ(s) = s [ s ³ + (5λ + 4μ) s ² + (6λ² + 11λμ + 5μ²) s + (2μ³ + 6λμ² ++4λ²μ);

Δ₀(s) = s ³ + (2λ + 4μ)s² + (2λμ + 5μ²)s + 2μ³;

Δ₁(s) = 2λ s ² + 6λμ s + 4λμ²;

Δ₂(s) = λ s ² + (2λ² + 3λμ) s + 2λμ²;

Δ₃(s) = 4λ² s + 4λ²μ.

Искомые вероятности находят как отношения соответствующих определителей к главному определителю системы.