Лекция №6

Тема: Производная и дифференциал функции Производные основных элементарных функций.

План:

1. Производная и дифференциал функции одной переменной: их геометрический и механический смысл.
2. Производные сложной, обратной функции и функции заданной в неявном виде.
3. Производная функции заданной параметрической.
4. Производные основных элементарных функций.
5. Производные и дифференциалы высших порядков.
6. Формула Лейбница для n-ой производной
7. Логарифмическое дифференцирование.

 

Ключевые слова: производная функции, дифференциал, приращение функции, формула Лейбница.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует)

.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Функция дифференцируемая в каждой точке промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, приведенной к кривой в точке .

Тогда уравнение касательной к кривой в точке примет вид

.

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент времени :

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Производная функции может быть найдена по следующей схеме

1.Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции .

2.Находим приращение функции .

3.Составляем отношение .

4.Находим предел этого отношения при , то есть (если этот предел существует).

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, то есть .

2. Производная аргумента равна 1, то есть .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

.

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих переменных, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , то есть

.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть .

Таблица производных