Тема: Понятие определенного интеграла

План:

1. Определенный интеграл по Риману.
2. Нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу.

 

Ключевые слова: интегральная сумма, суммы Дарбу, нижняя и верхняя суммы.

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками .

Точки, разделяющие отрезок [ а, b ] на частичные отрезки длиной , называются точками разбиения. Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку . Образуем сумму произведений

,

 

На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида

(1)

будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть

= .

 

называемую интегральной суммой для функции на отрезке [ а, b ]. Геометрический смысл величины s показан на рис. 2.. Это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами .

При этом числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами, выражение – подынтегральным выражением, – подынтегральной функцией.

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми при , осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции . В этом состоит его геометрический смысл.

Экономический смысл интеграла. Если - производительность труда в момент времени , то есть объем выпускаемой продукции за промежуток

. Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или .