Лекция №3

Тема:Элементы векторной алгебры и матричного анализа.

План

1. Векторы на плоскости и в пространстве;

2. скалярное произведение векторов;

3. линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

ключевые слова: Векторы на плоскости и в пространстве; скалярное произведение векторов; линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

 

Векторы b, c, d, e, f – компланарны, а вектор а c любыми двумя некомпланарны.

Коллинеарными называются вектора лежащие на одной прямой.

Компланарными называются вектора лежащие в одной плоскости.

Вектор - направленный отрезок – упорядоченная пара точек P и Q пространства, где P – начало направленного отрезка – точка приложения вектора, а Q – его конец(обозначение PQ). Вектор, начало и конец которого совпадают называется нулевым. Направление нулевого вектора не определено. Расстояние между точками A и B называют длинной или модулем вектора(|AB|).

Определение(равенство векторов AB=CD):

A=B и C=D (т.е. AB и CD нулевые векторы)

векторы не единичны, лежат на одной прямой, имеют одинаковую длину и направление.

A, B, C, D – разные точки, никакие три из них не лежат на одной прямой, AB||CD и AC||BD. Обладают следующими свойствами:

Если AB=CD, то CD=AB.

Если AB=CD и CD=EF, тогда AB=EF.

Если AB=CD, то |AB|=|CD|.

Для любых трех точек A, B и C существует единственная точка D такая, что: AB=CD.

Линейные операции над векторами:

A) Сложение векторов: Если u₁ и u₂ два свободных вектора, то приложим их к какой-нибудь точке O. Получившийся вектор OB называется их суммой, т.е. OB=OA+AB.

Теорема(свойства сложения векторов):

для любых двух векторов u и v существует единственный вектор u+v, называемый их суммой.

u + v=v + u (коммутативно)

(u + v) + w = u + (v + w) (ассоциативно)

существует единственный вектор 0, называемый нулевым вектором, такой, что 0 + u = u

Существует единственный вектор –u, такой, что u + (-u) = 0

B) Умножение вектора на число: Пусть u – свободный вектор, а a – число, тогда

au – свободный вектор, порожденный вектором u. (au=-(-a)u)

Теорема(умножение вектора на число)

Для любого вектора u и любого числа a существует единственный вектор au.

(a₁ + a₂)u=a₁u + a₂u

a₁a₂u=a₁(a₂u)

a(u₁ + u₂) = au₁ + au₂

1*u=u

Выражение a₁u₁+a₂u₂+…+a_nu_n – линейная комбинация векторов.

Базис:

Базис на прямой – обыкновенный вектор.

Базис на плоскости – два неколлинеарных вектора e1, e2, данных в определенном порядке и приложенных к точке О – началу базиса.

Базис в пространстве – тройка некомпланарных векторов e1, e2, e3, данных в определенном порядке и приложенных к точке О – началу базиса.

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по величине равны единицы.

Теорема: В ортонормированном базисе:

Если a=(x_a;y_a;z_a), и b=(x_b;y_b;z_b) тогда c=(a;b)=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b;